8. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Определение и теорема.

Пусть L₁ и L₂ – два подпространства линейного n-мерного пространства L.

Определение. Пространство L представляет собой прямую сумму подпространств L₁ и L₂, если каждый элемент x пространства L может быть единственным способом представлен в виде суммы x=x₁+x₂ элемента x₁ подпространства L₁ и элемента x₂ подпространства L₂.

О бозначение. L=L₁ L₂ (Разложение пространства L в прямую сумму подпространств L₁ и L₂)

Теорема. Для того чтобы n-мерное пространство L представляло собой прямую сумму подпространств L₁ и L₂, достаточно, чтобы пересечение L₁ и L₂ содержало только нулевой элемент и чтобы размерность L бы равна сумме размерностей подпространств L₁ и L₂.

Доказательство.

Выберем некоторый базис e₁, e₂,…, e_k в подпространстве L₁ и некоторый базис g₁, g₂,…, g_l в подпространстве L₂. Докажем, что объединение этих базисов e₁,…, e_k, g₁,…, g_l представляет собой базис всего пространства L. Так как по условию теоремы размерность n всего пространства L равна сумме (k+l) размерностей L₁ и L₂, то достаточно доказать линейную независимость элементов e₁,…, e_k, g₁,…, g_l.

Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов e₁,…, e_k, g₁,…, g_l представляет собой нулевой элемент, то есть справедливо равенство α₁e₁+…+α_ke_k+β₁g₁+…+β_lg_l=0 или α₁e₁+…+α_ke_k=-β₁g₁-…-β_lg_l. Так как левая часть является элементом L₁, а правая – элементом L₂, а пересечение L₁ и L₂ содержит лишь нулевой элемент, то как левая, так и правая часть представляет собой нулевой элемент, а это( на основании линейной независимости элементов каждого из базисов e₁,…, e_k и g₁,…, g_l) возможно лишь при условии α₁=…=α_k=0, β₁=…=β_l=0. Тем самым мы установили, что равенство α₁e₁+…+α_ke_k+β₁g₁+…+β_lg_l=0 возможно лишь при условии α₁=…=α_k=0, β₁=…=β_l=0, а это и доказывает линейную независимость элементов e₁,…, e_k, g₁,…, g_l и тот факт, что элементы e₁,…, e_k, g₁,…, g_l образуют базис всего пространства L.

Пусть теперь x – любой элемент L. Разложив его по базису e₁,…, e_k, g₁,…, g_l, будем иметь x=λ₁e₁+…+λ_ke_k+μ₁g₁+…+μ_lg_l или x=x₁+x₂, где x₁= λ₁e₁+…+λ_ke_k – элемент L₁, а x₂= μ₁g₁+…+μ_lg_l – элемент L₂. Остается доказать, что представление x=x₁+x₂ является единственным. Предположим, что, кроме x=x₁+x₂, справедливо и еще одно представление x=x^’₁+x^’₂, где x^’₁ – элемент L₁, а x^’₂ – элемент L₂. Вычитая x=x^’₁+x^’₂ из x=x₁+x₂, получим, что 0=x₁-x^’₁+x₂-x^’₂ или x₁-x^’₁=x₂-x^’₂. Так как в левой части последнего равенства стоит элемент L₁, а в правой – элемент L₂, и поскольку пересечение L₁ и L₂ содержит лишь нулевой элемент, то из этого равенства следует, что x₁-x^’₁=0, x₂-x^’₂=0, то есть x₁=x^’₁, x₂=x^’₂. Теорема доказана.

9. Прямое и обратное преобразование базисов. Доказательство непрерывности матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат при преобразовании базиса.

Пусть e₁, e₂,…, e_n и e^’₁, e^’₂,…, e^’_n – два произвольных базиса n-мерного линейного пространства L. Как всякий элемент пространства L, каждый элемент e^’₁, e^’₂,…, e^’_n может быть разложен по базису e₁, e₂,…, e_n. Предположим, что элементы e^’₁, e^’₂,…, e^’_n выражаются через e₁, e₂,…, e_n с помощью формул

e ^’₁=α₁₁e₁+α₁₂e₂+…+α_1ne_n,

e^’₂= α₂₁e₁+α₂₂e₂+…+α_2ne_n,

e^’_n= α_n1e₁+α_n2e₂+…+α_nne_n.

Обозначим

e₁ e^’₁

E= e₂ E^’= e^’₂ A=(a_ij)_nxn

e₃ e^’₃

Тогда эта формула принимает вид E^’=AE. Матрица A – матрица преобразований при переходе к новому базису. Докажем, что матрица A невырожденная. Пусть Ʃⁿ_i=1β_ie^’_i, все β_i=0. Подставляя сюда e^’_i=Ʃⁿ_j=1α_ije_j из формул, получим Ʃⁿ_j=1e_jƩⁿ_i=1β_iα_ij=0. Так как элементы базиса e_k линейно независимы, то все Ʃⁿ_i=1β_iα_ij=0 (при любых j от 1 до n). Это равенство является однородной СЛАУ и эта система имеет только нулевое решение. Значит det A≠0 (иначе ранг A был бы равен n, а этого не может быть он меньше n). Тогда формула E^’=AE принимает вид E=A^-1E^’.

Прямое и обратное преобразование координат при изменении базиса.

П усть базис e₁, e₂,…, e_n преобразуется в базис e^’₁, e^’₂,…, e^’_n с помощью невырожденной матрицы A, так что обратное преобразование базисов задается матрицей

A₁₁/∆ A₂₁/∆… A_n1/∆

B= A₁₂/∆ A₂₂/∆… A_n2/∆

A_1n/∆ A_2n/∆… A_nn/∆

П усть далее x – произвольный элемент рассматриваемого линейного пространства L, (x₁, x₂,.., x_n) – его координаты относительно первого базиса e₁, e₂,…, e_n, (x^’₁, x^’₂,…, x^’_n) – его координаты относительно второго базиса e^’₁, e^’₂,…, e^’_n, так что x=x^’₁e^’₁,+x^’₂e^’₂+…+x^’_ne^’_n=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n. Подставив в это равенство вместо элементов e₁, e₂,…, e_n их выражения, определяемые формулами,

e₁=(A₁₁/∆)e^’₁+(A₂₁/∆)e^’₂+…+(A_n1/∆)e^’_n

e₂=(A₁₂/∆)e^’₁+(A₂₂/∆)e^’₂+…+(A_n2/∆)e^’_n

e_n=(A_1n/∆)e^’₁+(A_2n/∆)e^’₂+…+(A_nn/∆)e^’_n

п олучим x=x^’₁e^’₁,+x^’₂e^’₂+…+x^’_ne^’_n=x₁((A₁₁/∆)e^’₁+(A₂₁/∆)e^’₂+…+(A_n1/∆)e^’_n)+x₂((A₁₂/∆)e^’₁+(A₂₂/∆)e^’₂+…+(A_n2/∆)e^’_n)+…+x_n(A_1n/∆)e^’₁+(A_2n/∆)e^’₂+…+(A_nn/∆)e^’_n). Из последнего равенства (в силу единственности разложения по базису e^’₁, e^’₂,…, e^’_n) сразу вытекает формулы перехода от координат (x₁, x₂,.., x_n) относительно первого базиса к координатам (x^’₁, x^’₂,…, x^’_n) относительно второго базиса.

x^’₁=(A₁₁/∆)x₁+(A₁₂/∆)x₂+…+(A_1n/∆)x_n

x^’₂=(A₂₁/∆)x₁+(A₂₂/∆)x₂+…+(A_2n/∆)x_n

x^’_n=(A_n1/∆)x₁+(A_n2/∆)x₂+…+(A_nn/∆)x_n

Э ти формулы показывают, что переход от координат (x₁, x₂,.., x_n) к координатам (x^’₁, x^’₂,…, x^’_n) осуществляется с помощью матрицы транспонированной к обратной матрице B.

A₁₁/∆ A₁₂/∆… A_1n/∆

C= A₂₁/∆ A₂₂/∆… A_2n/∆

A_n1/∆ A_n2/∆… A_nn/∆

Вывод.

Если переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы A, то переход от координат произвольного элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицы (A^-1)^’, транспонированной к обратной матрице (A^-1).