4. Размерность линейного пространства. Две теоремы о связи размерности линейного пространства и базиса.

Определение. Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называют размерностью пространства L.

Размерность пространства L обычно обозначают символ dim L.

Определение. Линейное пространство L называют бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов. (dim L=∞)

Теорема. Если линейной пространство L – размерности n, то любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.

Доказательство.

Пусть e₁, e₂,…, e_n – любая система n линейно независимых элементов пространства L (существование хотя бы одной такой системы вытекает из определения). Если x – любой элемент пространства L, то, согласно определению система (n+1) элементов x, e₁, e₂,…, e_n линейно зависима, то есть найдутся не все равные нулю числа α₀, α₁,…, α_n такие, что справедливо равенство α₀x+α₁e₁+…+α_ne_n=0. Заметим, что число α₀ заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из равенства вытекала бы линейная зависимость элементов e₁, e₂,…, e_n). Но тогда поделив равенство на α₀ и положив x₁=-α₁/α₀, x₂=-α₂/α₀,…, x_n=-α_n/α₀, мы получим x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n. Так как элемент x произвольный элемент L, то это равенство доказывает, что система элементов e₁, e₂,…, e_n является базисом пространства L. Теорема доказана.

Теорема. Если линейное пространство L имеет базис, состоящий из n элементов, то размерность L равна n.

Доказательство. Пусть система из n элементов e₁, e₂,…, e_n является базисом пространства L. Достаточно доказать, что любые (n+1) элементов этого пространства x₁, x₂,…, x_n+1 линейно зависимы. разложив каждый элемент по базису, будем иметь

x₁=α₁₁e₁+α₁₂e₂+…+α_1ne_n,

x₂=α₂₁e₁+α₂₂e₂+…+α_2ne_n,

x_n+1=α_(n+1)1e₁+α_(n+1)2e₂+…+α_(n+1)ne_n, где α₁₁, α₁₂,…, α_(n+1)n – некоторые вещественные числа.

О чевидно, линейная зависимость элементов x₁, x₂,…, x_n+1 эквивалента линейной зависимости строк матрицы

α₁₁α₁₂…α_1n

A= α₂₁α₂₂…α_2n

α_(n+1)1α_(n+1)2…α_(n+1)n

Но строки указанной матрицы заведомо линейно зависимы, ибо порядок базисного минора этой матрицы (содержащей (n+1) строк и n столбцов) не превосходит n, и хотя бы одна из (n+1) ее строк не является базисной и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк. Теорема доказана.

(Теорема о базисном миноре – базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов))

5. Изоморфизм линейного пространства. Теорема об изоморфизме линейных пространств одинаковой размерности.

Определение. Два произвольных вещественных линейных пространства L и L^’ называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам x и y пространства L отвечают соответственно элементы x^’ и y^’ пространства L^’, то элементу x+y соответствует элемент x^’+y^’, а элементу λx при любом вещественном λ отвечает элемент λx^’.

Заметим, что если линейное пространство L и L^’ изоморфны, то нулевому элементу L отвечает нулевой элемент L^’ и наоборот. Если пространства L и L^’ изоморфны, то максимальное количество линейно независимых элементов в каждом из этих пространств одно и то же. Иными словами два изоморфных пространства должны иметь одинаковую размерность. Стало быть пространства разной размерности не могут быть изоморфны.

Теорема. Любые два n-мерных вещественных линейных пространства L и L^’ изоморфны.

Доказательство.

Выберем в L какой-нибудь базис e₁, e₂,…, e_n, а в L^’ – какой-либо базис e^’₁, e^’₂,…, e^’_n. Поставим в соответствие каждому элементу x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n пространства L элемент x^’=x₁e^’₁+x₂e^’₂+…+x_ne^’_n пространства L^’ (то есть мы берем в качестве x^’ тот элемент пространства L^’, который относительно базиса e^’₁, e^’₂,…, e^’_n те же самые координаты, что и элемент x относительно базиса e₁, e₂,…, e_n).

Убедимся в том, что установленное соответствие является взаимно однозначным. В самом деле, каждому элементу x пространства L однозначно соответствуют координаты x₁, x₂,…, x_n, которые в свою очередь определяют единственный элемент x^’ пространства L^’. В силу равноправности пространств L и L^’ каждому элементу x^’ пространства L^’ в свою очередь соответствует единственный элемент x пространства L (Соответствие между элементами двух множеств L и L^’ называется взаимно однозначным, если при этом соответствии каждому элементу L отвечает один и только один элемент L^’, причем каждый элемент L^’ отвечает одному и только одному элементу L). Остается заметить, что элементам x и y пространства L отвечают соответственно элементы x^’ и y^’ пространства L^’, то в силу теоремы об операциях над элементами двух линейных пространств, выраженных в координатах, элементу x+y отвечает элемент x^’+y^’, а элементу λx отвечает элемент λx^’. Теорема доказана.

(Единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность)