2. Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Свойства.

Определение. Всякий вектор XєL, представленный в виде X=α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n (где α₁, α₂,…, α_n – коэффициенты линейной комбинации (некоторые числа)) называется линейной комбинацией элементов x₁, x₂,…, x_n.

Определение. Система векторов x₁, x₂,…, x_n называется линейно зависимой, если существует комбинация X=α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n равная нулевому элементу, где среди чисел α₁, α₂,…, α_n хотя бы одно отлично от нуля.

Определение. Система векторов x₁, x₂,…, x_n называется линейно независимой, если равенство α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n равно нулевому элементу, только при α₁=α₂=…=α_n=0.

Свойства:

1. Если k(k<n) элементов системы линейно зависимы, то и вся система линейно зависима.

2. Если в систему элементов входит нулевой элемент, то система линейно зависима.

3. Если из системы линейно независимых элементов x₁, x₂,…, x_n отбросить r(r<n) элементов, то оставшиеся элементы тоже образуют линейно независимую систему.

4. Если среди элементов имеются такие элементы x_k и x_m, что x_k=λx_m, где λ – некоторое число, то система линейно зависима.

5. Если среди элементов x₁, x₂,…, x_n имеется нулевой элемент, то эта элементы линейно зависима.

6. Если часть элементов x₁, x₂,…, x_n являются линейно зависимыми, то и все эти элементы являются линейно зависимыми.

Теорема. Для того чтобы элементы x₁, x₂,…, x_n пространства L были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейно комбинацией остальных элементов.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть элементы x₁, x₂,…, x_n линейно зависимы, то есть справедливо равенство α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n=0, в котором хотя бы одно из чисел α₁, α₂,…, α_n отлично от нуля. Пусть для определенности α₁≠0. Тогда поделив равенство на это число и введя обозначение λ₁=-α₂/α₁,…, λ_n=-α_n/α₁ можно переписать равенство в виде x₁= λ₁x₂+λ₂x₃+…+λ_nx_n, а это и означает, что элемент x₁ является линейно комбинацией элементов x₂, x₃,…, x_n.

2. Достаточность. Пусть один из элементов (например, x₁) является линейной комбинацией элементов x₂, x₃,…, x_n. Тогда найдутся λ₁, λ₂,…, λ_n, такие что справедливо равенство x₁= λ₁x₂+λ₂x₃+…+λ_nx_n. Но это равенство можно переписать в виде (-1)x₁+λ₁x₂+λ₂x₃+…+λ_nx_n=0. Так как из чисел (-1), λ₁, λ₂,…, λ_n одно отлично от нуля, то это равенство устанавливает линейную зависимость элементов x₁, x₂,…, x_n. Теорема доказана.

Система из n линейно независимых элементов, будет линейно зависимой, если она будет состоять и n+1 элементов.

Рассмотрим это утверждение на примере элементов просkтранства Aⁿ:

e ₁=(1, 0, 0,…, 0)

e₂=(0, 1, 0,…, 0)

e_n=(0, 0, 0,…, 1)

Рассмотрим эту линейную комбинацию элементов с какими-либо числами α₁, α₂,…, α_n. В силу аксиом эта комбинация представляет собой элемент α₁e₁+α₂e₂+…+α_ne_n=( α₁, α₂,…, α_n), который является нулевым только при условии α₁=α₂=…=α_n=0. Но это и означает линейную независимость элементов.

Докажем теперь, что система, состоящая из n элементов и еще одного произвольного элемента x=( x₁, x₂,…, x_n) пространства Aⁿ является линейно зависимой. В силу теоремы достаточно доказать, что элемент x=( x₁, x₂,…, x_n) представляет линейно комбинацией остальных элементов, а это очевидно, ибо в силу аксиом x=( x₁, x₂,…, x_n)=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n