32. Достаточные условия максимума или минимума функции нескольких независимых переменных.

33. Предмет теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности.

предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S . Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°С, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий ,S. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера. Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо орел, либо решка. Поэтому событие «при бросании монеты выпал орел» — случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Классическое определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов. Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий Е состоит из N равновозможных элементарных событий, среди которых имеется n событий,благоприятствующих событию А,тогда число P(A)=n/N называется вероятностью события А.

Свойства вероятности. Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть m=n, следовательно,Р(А)=1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благопри-ятным, поэтому m=0 и р(А)=0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0< m < n, и следует, что 0<p(A)<1.

34. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности события.

Статистическое определение. Вероятностью события A называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота P*(A) при неограниченном увеличении числа опытов. В практических задачах за вероятность события A принимается относительная частота P*(A) при достаточно большом числе испытаний. Из данных определений вероятности события A видно, что всегда выполняется неравенство 0<P(A)<1. Для определения вероятности события на основе формулы (P(A)=m/n) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой W(A)=m/n где m - число появлений события, n - общее число испытаний. Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.