20. Понятие о дифференциальном уравнении и его решении. Порядок дифференциального уравнения. Понятие общего и частного решения.

Уравнение вида f(x,y,y’,y”,…,yn)=0 называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением этого уравнения является произвольная функция y = y (x), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида y’=f(x). Чтобы его решить, нужно представить производную y’ как dy/dx, домножить обе части уравнения на dx и проинтегрировать обе части получившегося уравнения: y=∫f(x)dx+C. Как видно, это уравнение имеет бесконечное количество решений, отличающихся друг от друга на постоянную C. Выбрать конкретное решение уравнения можно, если знать начальные условия, например, точку, через которую проходит график функции y = y (x). Так, если известно, что y(x0)=y0, то подставляя это значение в общее решение y=∫f(x)dx+C=F(x)+C, получаем y0=F(x0)+C, откуда

C=y0-F(x0) и y=y0+F(x)-F(x0). Это решение можно записать в виде

Общее решение - это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение - это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения: (x,y,c1,c2,…,cn)=0

Частное решение дифференциального уравнения должно удовлетворять и тому и другому условию.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y’(x),y”(x),…,yn(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

21. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. Теорема существования и единственности решения.

Задача Коши. Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y0 искомой функции при некотором значении x0 независимого переменного — это значит задать начальное условие С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M0 (x0, y0) на плоскости XOY.

Теорема. Пусть дано уравнение y' = f (x, y) с начальным условием =y0, и относительно функции f (x, y) выполнены следующие условия:

1.В прямоугольнике R, определенном неравенствами x0 – a ≤ x ≤ x0 + a, y0 – b ≤ y ≤ y0 + b, функция f (x, y) непрерывна. Из этого условия вытекает, что в замкнутой области R функция f (x, y) ограничена, т.е. существует действительное число M > 0 такое, что для любой точки (x, y) ∈ R   | f (x, y)| ≤ M.

2.В области R функция f (x, y) относительно аргумента y удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует такое действительное число A > 0, что | f (x, y1) – f (x, y2)| ≤ A|y1 – y2|.

Обозначим через h меньшее из двух чисел a,b/M. При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x0 – h ≤ x ≤ x0 + h, удовлетворяющее начальному условию = y0.