12. Ряды Тейлора и Маклорена.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:1. где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением 2.

Е сли приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:3.

1 3. Понятие о ряде Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных периодических функций.

Т ригонометрическим рядом называют ряд вида или, символической записи:

где ω, a0, a1, …, an, …, b0, b1, …,bn, …- постоянные числа (ω>0) .

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

14. Первообразная функции на промежутке. Неопределенный интеграл и его свойства.

Определение первообразной. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если F’(x)=f(x). Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство (F(x)+C)’=f(x). Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом ∫f(x)dx.

Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то ∫f(x)dx=F(x)+C, где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

• d∫f(x)dx=f(x)dx

• ∫F’(x)dx=F(x)+C (или ∫dF(x)=F(x)+C).

.

15. Интегрирование по частям, замена переменных. Таблица интегралов основных элементарных функций.

Интегрирование по частям является методом преобразования интеграла специального вида в другой интеграл ∫u*v’*dx=u*v-∫v*u’*dx.

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем d(u*v)=v*du+u*dv. Проинтегрируем обе части этого соотношения ∫d(u*v)=∫u*dv+∫v*du, откуда ∫u*dv=u*v-∫v*du, Учитывая связь дифференциала с производной, окончательно получим ∫u*v’*dx=u*v-∫v*u’*dx. Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

1.∫xαdx=α+1xα+1+C,α/=−1 в частности при α=1:∫xαdx=2x2 2.∫xdx=ln∣x∣+C 3.∫dx1+x2=arctg(x)+C 4.∫dx√1−x2=arcsin(x)+C 5.∫axdx=axln(a)+c 6.∫exdx=ex+C 7.∫sin(x)dx=−cos(x)+C 8.∫cos(x)dx=sin(x)+C 9.∫dxcos2(x)=tg(x)+C 10.∫dxsin2(x)=−ctg(x)+C 11.∫dxx2−a2=12aln∣x+a∣/∣x−a∣+C 12.∫dx/√x2+k=ln∣x+√x2+k∣+C 13.∫dxx2+a2=a1arctg(xa)+C 14.∫dx√a2−x2=arcsin(xa)+C

16. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим функцию f(х), определенную в каждой точке сегмента [а, b]. Введем понятия разбиения сегмента [а, b], измельчения этого разбиения и объединения двух разбиений.

Определение 1. Будем говорить, что задано разбиение сегмента [а, b], если заданы точки х1, x2,..., хп такие, что а= х1<x2<...<хп= b, Разбиение сегмента [а, b] будем в дальнейшем обозначать символом {хk}.

Определение 2. Разбиение {х΄k} сегмента [а, b] называется измельчением разбиения {хk} того же сегмента, если каждая точка хp разбиения {хk} совпадает с одной из точек хq разбиения {х΄k}.

Определение 3. Разбиение {хk} сегмента [а, b] называется объединением разбиений {х΄k} и {х"k} того же сегмента, если все точки разбиений {х΄k} и {х"k} являются точками разбиения {хk} и других точек разбиение {хk} не содержит.

Заметим, что объединение двух разбиений является измельчением каждого из них.

Рассмотрим на сегменте [а, b] функцию f(х), принимающую в каждой точке сегмента конечные значения. По данному разбиению {хk} построим число, так называемую «интегральную сумму»,1. где xk— некоторая точка сегмента [хk-1, хk]. Подчеркнем, что интегральная сумма зависит как от разбиения {хk}, так и от выбора точек xk на сегментах [хk-1, хk]. Если обозначить через Dхk разность хk - хk-1, то интегральную сумму, в дальнейшем часто обозначаемую просто через s, можно записать и так:2.

Сегменты [хk-1, хk] иногда называют частичными сегментами, а точки xk — промежуточными точками. Число d = mах Dхk договоримся называть диаметром разбиения {хk}.

Г еометрический смысл интегральной суммы. Пусть функция у = f (x) неотрицательна на [а, b]. Отдельное слагаемое f (ξi)·Δx i интегральной суммы равно площади Si прямоугольника со сторонами f (ξ i) и Δxi, где i = 1, 2, …, n. Вся интегральная сумма равна площади Sn = S1 + S2 + … + Sn под ломанной, образованной на каждом из отрезков [xi - 1, xi] прямой f (ξ i) параллельной оси абсцисс.При стремлении max Δ xi к нулю ломаная неограниченно приближается к исходной кривой и площадь переходит в площадь под кривой. Учитывая сказанное, мы можем получить некоторые интегралы для площадей плоских фигур, используя известные формулы из планиметрии. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка разбиения