5. Асимптоты графика функции. Отыскание вертикальной и наклонной асимптот.

Асимптоты функции. Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

В ертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке. Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода. В этом случае f (x0 ± 0) = ± ∞, или f (x0 ± 0) = + ∞ , или f (x0 ± 0) = − ∞. Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва. Например, на рис. приведён график элементарной функции.

Наклонные асимптоты.

У равнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями

6. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

• Находим область определения функции f(x)

• Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим их на чертеж.

• Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей координат и начала координат.

• Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.

• Находим асимптоты кривой, если они имеются.

• Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами.

• Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.

• Вычерчиваем кривую y = f(x).

.

7. Понятие о числовых рядах. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости.

Ч исловой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида

аk называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Сумма числового ряда a1+a2+…+an+… определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится. Элементы ряда an представляют собой либо вещественные, либо комплексные числа.

8. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости.

Рассмотрим 2 знакоположительных ряда U1+ U2+….+ Un +…(А); V1+ V2+…+ Vn+…(В), где Un≥0, Vn≥0 ( n=1,2….)

Теорема: необходимым и достаточным условием сходимости знакоположительного ряда явл-ся ограниченность последовательности его частичных сумм.

Док-во: пусть знакоположительный ряд А- сходится и его суммой явл-ся число S. Тогда S явл-ся пределом последовательности его частичных сумм S1, S2, .., Sn,…, но как известно из сходимости числовой последовательности следует его ограниченность, т.е. сущ-ет некоторое число М такое, что Sn≤М при n=1,2.. следует ограниченность, достаточность, пусть последовательность частичных сум сходящегося ряда А- ограничена некоторым числом n, т.е. для любого n. Т.к. ряд А явл-ся знакоположительным, то последовательность его частичных сум монотонно возрастающая S1≤S2≤… Sn≤ Однако При любом n, Sn≤ n следует расмотренная последовательность частичных сум ограниченна. Это говорит о том, что эта последовательность ссходится к некоторому числу S, т.е. сходится ряд А 1-ый признак сравнения: если знакоположительные ряды А и В таковы, что Un≤ Vn (n=1,2..), то из сходимости ряда В след.сходимость ряда А, а из расходимости ряда А след.расходимость ряда В.

Док-во: пусть сходится ряд В это означает, что последовательность частичных сум этого ряда ограниченно, т.е. Sn≤М при (n=1,2..) Т.к. Un≤ Vn (n=1,2..), то S’n≤ Sn (n=1,2..), где S’n –энная частичная сумма ряда А из последовательности неравенства след.что при S’n≤М ( n=1,2..) Последнее неравенство говорит о том, что последовательность частичных сум ряда А ограниченно числом n. Отсюда след. в силу т.3.1. след сходимость ряда А. Если же ряд А расходится, то последовательность частичных сум Sn→∞( так как ряд знакоположительный). Из неравенства S’n≤ Sn след. что Sn также →∞ т.е. ряд В – расходится.

2-ой признак сравнения: если сущ-ет предел lim (n→∞) Un\ Vn=к, 0≤к≤∞, то из сходимости ряда В при к меньшим бесконечности след.сходимость ряда А, а из расходимости Ряда А при к>0 след.расходимость ряда В, таким оьразом при конечном положительном пределе к оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Признак Коши: если для ряда А сущ-ет с= lim (n→∞)n√ Un ( конечный или бесконечный), то при с<1, ряд А- сходится, с>1 расходится.

Признак Даламбера: если для ряда А сущ-ет предел конечный или бесконечный с= lim (n→∞) Un+1\ Un, то при с<1 ряд А сходится, с>1 расходится.

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая: S(n+1)-S(n)=a(n+1). Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).