41. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли.

Формула бернулли . Пусть производится n независимых испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р, тогда вероятность ненаступления А равна q = 1 − p. Если есть вероятность появления события А m раз в n испытаниях, то или . Эта формула называется формулой Бернулли.

Схема Бернулли. Под схемой Бернулли понимают конечную серию n повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают p=P(Y), а непоявления (неудачи) его P(H)=q=1-p. Я. Бернулли установил, что вероятность ровно m успехов в серии из n повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле: То значение , при котором число является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию np – q< m <np+ p,

42. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Использование формулы Бернулли при больших значениях n требует выполнения арифметических действий над огромными числами, что обусловлено наличием факториалов в формуле для числа сочетаний. Поэтому, если число испытаний n достаточно велико, то для нахождения вероятности появления события A ровно k раз применяют следующую теорему. Теорема. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что соб ытие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции Для положительных значений аргумента значения функции приведены в специальной таблице. Для отрицательных значений аргумента пользуются той же таблицей и свойством четности функции , то есть . Таким образом, вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна , где .

Интегральная теорема Лапласа.Теорема. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу , где . При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, используют специальную таблицу для интеграла . В ней приведены значения функции Ф(х) (которую называют функцией Лапласа) для . Если x>5, то принимают Ф(х)=0,5. Для x<0 пользуются той же таблицей и свойством нечетности функции Лапласа, то есть Ф(-х)= -Ф(х). Для того чтобы можно было пользоваться таблицей, преобразуем формулу из интегральной теоремы Лапласа: Таким образом, вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, может быть вычислена по формуле , где .

43. Дискретные и непрерывные случайные величины, их законы распределения.

Дискретные случайные величины. Определение: Случайная величина ξ называется дискретной случайной величиной, если она принимает не более чем счетное число значений. Задание дискретной случайной величины по определению равносильно заданию закона распределения случайной величины в следующем виде: где . Следующее утверждение отражает связь между функцией распределения дискретной случайной величины и законом распределения случайной величины. Утверждение: Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины взаимно однозначно определяют друг друга.

Непрерывные случайные величины. Определение: Распределение случайной величины ξ называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого , где - интегрируемая по Лебегу функция. Функция называется плотностью распределения случайной величины ξ. Теорема: Для того чтобы случайная величина ξ была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого (1). Замечание 1: Из представления (1) видно, что функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией.