Карточка.

Матан 1 курс.

Предисловие.

Данная карточка содержит все основные темы, теорию, разобранные примеры и советы. Это авторское решение, поэтому:

Правила использования:

1. Запрещается использовать в коммерческих целях всем кроме автора.

2. Запрещается передавать/показывать другим лицам без разрешения автора.

3. Прежде чем заявлять, что здесь что-то неверно подумайте дважды.

4. А потом еще раз.

Я не смогу узнать или что-то сделать, если вы нарушите эти правила. Если вы будете им следовать – спасибо. Если нет, ну что ж, будьте прокляты=).

Содержание

Глава I. Аналитическая геометрия………………………………………….……4

1. Векторы……………………………………………………………………4

2. Прямая и плоскость…………………………………..…………………..4

3. Задачи на нахождение уравнения прямой/плоскости………………..…5

4. Задачи на угол м/у прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью………………………………………………….………..…….6

5. Задачи на точку пересечения прямых, прямой и плоскости…..…..…..7

6. Задачи на проекцию………………………………………………….……8

7. Задачи на симметрию…………………………………………………….8

Глава II. Матрицы………………………………………………………….………..10

2.1 Тривиальные действия…………………………………………….…….….10

2.2 Ранг матрицы…………………………………………………………….…11

2.3 Определитель матрицы..…………………………………………………..12

2.4 Обратная матрица………………………………………………………….13

2.5 Совместность. Зависимость. Базис……………………………………….14

2.6 Системы уравнений………………………………………………………..15

2.7 Собственные векторы………………………………………………………18

Глава III. Пределы………………………………………………………………21

Глава IV. Производные и дифференциалы……………………………………....23

4.1«Тривиальные» производные……………………………………………..23

4.2 Уравнения касательной и нормали к графику функций…………………24

4.3 Производная функции нескольких переменных…………………………26

4.4 Градиент. Производная по направлению………………………………..28

4.5 Первый и второй дифференциал………………………………………….29

4.6 Касательная плоскость…………………………………………………….30

4.7 Формулы Тейлора и Маклорена…………………………………………..31

Глава V. Интегралы…………………………………………………………….….32

5.1 Свойства интегралов и таблица первообразных………………………..32

5.2 Метод частичной замены переменной……………………………………33

5.3 Метод замены переменной………………………………………………..34

5.4 Определенный интеграл…………………………………………………..35

5.4 Определенный интеграл…………………………………………………..35

Глава VI. Точки экстремума функции нескольких переменных…………….…36

6.1 Локальный экстремум функции…………………………………………..36

6.2 Локальный условный экстремум………………………………………….38

6.3 Метод Лагранжа……………………………………………………………39

Карточка.

Глава I. Аналитическая геометрия.

1.1 Векторы

1. Допустим, есть две точки А ( ; ; ) и В ( ; ; ), тогда:

1. ( ; ; )

2. Точка О, являющаяся серединой отрезка АВ будет иметь координаты О .

2. Допустим, есть два вектора (x₁,y₁,z₁) и (x₂,y₂,z₂), тогда:

1. (Соответственно )

2. * =

3. * = * * , где - угол между векторами

4. Из 3) и 2) следует: =

5. Если , то: а) =0 б) =0

6. Если || , то: а) = *k б) = *k в) = *k г) = *k, где k – некое число.

1.2 Прямая и плоскость.

Прямая:

- уравнение прямой, дающееся в условии.

- уравнение прямой в каноническом виде, использующееся для решения дающееся в условии.

Л юбая прямая задается двумя объектами:

1. Точкой, лежащей на прямой, с координатами

2. Вектором (А; В; С), параллельным прямой

Плоскость:

- уравнение плоскости, используемое для решения.

- уравнение плоскости, дающееся в условии. Где т.е. конкретное число.

Любая плоскость задается двумя объектами:

1. Точкой, лежащей на плоскости, с координатами

2. Вектором , перпендикулярным данной плоскости.

Можно выделить 5 основных типов задач на аналитическую геометрию:

1. Найти уравнение прямой/плоскости.

2. Найти угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.

3. Найти точку пересечения прямых, прямой и плоскости.

4. Найти проекцию.

5. Найти точку симметричную данной.