- •Глава I. Аналитическая геометрия………………………………………….……4
- •Карточка.
- •Глава I. Аналитическая геометрия.
- •1.1 Векторы
- •1.2 Прямая и плоскость.
- •1.3 Задачи на нахождение уравнения прямой/плоскости.
- •Делаем чертеж:
- •1.4 Задачи на угол м/у прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
- •1.5 Задачи на точку пересечения прямых, прямой и плоскости.
- •1.6 Задачи на проекцию.
- •1.7 Задачи на симметрию.
- •Глава II. Матрицы
- •2.1 «Тривиальные» действия
- •2.2Ранг матрицы
- •2.3 Определитель матрицы.
- •2.4 Обратная матрица.
- •2.5 Совместность. Зависимость. Базис
- •2.6 Системы уравнений.
- •2.7 Собственные векторы.
- •Глава III. Пределы.
- •Глава IV. Производные и дифференциалы.
- •4.1 «Тривиальные» производные.
- •4.2 Уравнения касательной и нормали к графику функций.
- •1) Производная в точке, заданная неявно.
- •Уравнение касательной к графику функций в точке.
- •Уравнение нормали к графику функций.
- •4.3 Производная функции нескольких переменных.
- •4.4 Градиент. Производная по направлению.
- •4.5 Первый и второй дифференциал.
- •4.6 Касательная плоскость.
- •4.7 Формулы Тейлора и Маклорена.
- •Глава V. Интегралы.
- •5.1 Свойства интегралов и таблица первообразных.
- •5.2 Метод частичной замены переменной.
- •5.3 Метод замены переменной.
- •5.4 Определенный интеграл.
- •5.5 Двойные интегралы.
- •Глава VI. Точки экстремума функции нескольких переменных.
- •6.1 Локальный экстремум функции.
- •6.2 Локальный условный экстремум.
- •6.3 Метод Лагранжа.
Глава IV. Производные и дифференциалы.
4.1 «Тривиальные» производные.
Таблица сложных производных
Примеры на нахождение производной:
8.3
Решение:
8.12
Решение:
8.21 .
Решение:
Проблема этого примера в том, что мы не знаем производной функции типа: , поэтому необходимо сделать следующие преобразования: .
P.s. это основное логарифмическое тождество.
=
.
4.2 Уравнения касательной и нормали к графику функций.
1) Производная в точке, заданная неявно.
Пример:
8.26 Найдите значение производной функции , заданной неявно уравнением , в точке М(0; 1).
Решение:
Для решения данного примера необходимо взять производную по х из выражений, стоящих слева и справа от знака равенства, а затем подставить значения вместо х и у. при этом нужно учитывать, что у – сложная функция и производная от нее так и останется :
Уравнение касательной к графику функций в точке.
Уравнение касательной имеет вид: , где , - значение производной в точке, , - координаты точки касания.
Алгоритм нахождения уравнения касательной:
Найти , если не дано, подставив в уравнение графика функции, заданной явно.
Найти , а затем, подставив и , найти .
Подставить все необходимые значения в формулу касательной.
Пример:
8.30 Напишите уравнение касательной, проведенной в точке (1;1) к графику функции , заданной неявно .
Решение:
=1 (Из условия).
Ответ: .
Уравнение нормали к графику функций.
Уравнение нормали к графику функций имеет следующий вид:
Поэтому алгоритм решения точно такой же как и для касательной.
Пример:
8.36 Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной неявно .
Решение:
=1
Ответ:
4.3 Производная функции нескольких переменных.
Производная по переменной берется как обычно, но с одним отличием: все остальные переменные считаются константами, т.е. если мы берем производную по х, то и т.д..
Примеры:
Найдите частные производные первого порядка от следующих функций:
13.4. .
Решение:
13.16. .
Решение:
; ;
.
13.26. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение:
13.39. Найдите и , если и , .
Решение:
Для начала необходимо объяснить разницу между и . - производная , с учетом, что все остальные переменные константы. = = . Итак:
= ;
=
13.44. Найдите производные и функции , где и : , , .
Решение:
;
.
13.49. Найдите в указанной точке первые частные производные функции , заданной неявно уравнением: , .
Решение:
Аналогично случаю, когда у нас функция от одной переменной, берем производную от обеих частей уравнения сначала по одной переменной, считая, что z – сложная функция и ее производная так и остается , а затем подставляем значения и находим производную. Повторяем с другими переменными.
Для начала найдем , подставив в исходное уравнение :
А теперь найдем :
А теперь найдем :