- •Глава I. Аналитическая геометрия………………………………………….……4
- •Карточка.
- •Глава I. Аналитическая геометрия.
- •1.1 Векторы
- •1.2 Прямая и плоскость.
- •1.3 Задачи на нахождение уравнения прямой/плоскости.
- •Делаем чертеж:
- •1.4 Задачи на угол м/у прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
- •1.5 Задачи на точку пересечения прямых, прямой и плоскости.
- •1.6 Задачи на проекцию.
- •1.7 Задачи на симметрию.
- •Глава II. Матрицы
- •2.1 «Тривиальные» действия
- •2.2Ранг матрицы
- •2.3 Определитель матрицы.
- •2.4 Обратная матрица.
- •2.5 Совместность. Зависимость. Базис
- •2.6 Системы уравнений.
- •2.7 Собственные векторы.
- •Глава III. Пределы.
- •Глава IV. Производные и дифференциалы.
- •4.1 «Тривиальные» производные.
- •4.2 Уравнения касательной и нормали к графику функций.
- •1) Производная в точке, заданная неявно.
- •Уравнение касательной к графику функций в точке.
- •Уравнение нормали к графику функций.
- •4.3 Производная функции нескольких переменных.
- •4.4 Градиент. Производная по направлению.
- •4.5 Первый и второй дифференциал.
- •4.6 Касательная плоскость.
- •4.7 Формулы Тейлора и Маклорена.
- •Глава V. Интегралы.
- •5.1 Свойства интегралов и таблица первообразных.
- •5.2 Метод частичной замены переменной.
- •5.3 Метод замены переменной.
- •5.4 Определенный интеграл.
- •5.5 Двойные интегралы.
- •Глава VI. Точки экстремума функции нескольких переменных.
- •6.1 Локальный экстремум функции.
- •6.2 Локальный условный экстремум.
- •6.3 Метод Лагранжа.
4.4 Градиент. Производная по направлению.
Производная функция в точке функции по направлению вычисляется как: , где - градиент функции f в точке .
Градиент функции представляет собой вектор, координатами которого являются значения производных по х, по у и по другим переменным (если они есть) в точке, т.е. .
Пусть вектор имеет координаты , тогда = .
Кроме того, можно записать как , где - косинус угла между вектором и осью ОХ, а - косинус угла между вектором и осью ОУ.
Примеры:
13.56. Найдите производную функции , по направлению в точке .
Решение:
; .
.
13.57. Найдите производную функции в точке по направлению , где .
Решение:
.
.
13.60. Найдите производную функции в точке по направлению луча, образующего с осью угол .
Решение:
.
14.10(а) Найдите точки, в которых если
единственная точка .
4.5 Первый и второй дифференциал.
Формула первого дифференциала:
Формула второго дифференциала:
Примеры:
14.4(а) Найдите первый дифференциал функции
Решение:
14.9(а) Найдите вторые дифференциалы
Решение:
.
14.6. Покажите, что если , то .
Решение:
Запишем по-другому, что нам нужно доказать: . А теперь докажем равенство:
.
4.6 Касательная плоскость.
Уравнение касательной плоскости к графику функции имеет вид: , кроме того это уравнение можно записать как: . Отсюда можно получить уравнение нормали к поверхности: .
P.S. если у нас уравнение задано явно, то мы считаем, что
Примеры:
14.15. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Решение:
- уравнение касательной плоскости.
- уравнение нормали к поверхности.
14.21. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Решение:
Для начала найдем как раньше:
; ;
- уравнение касательной плоскости - уравнение нормали к поверхности.
4.7 Формулы Тейлора и Маклорена.
Формулы Тейлора и Маклорена для функций одной переменной:
Формула Тейлора:
Формула Маклорена:
Формула Тейлора для функций нескольких переменных:
Формула Тейлора: или также можно записать:
Глава V. Интегралы.
5.1 Свойства интегралов и таблица первообразных.
Свойства интегралов:
Стандартная таблица первообразных:
Расширенная таблица первообразных:
Примерный алгоритм решения интегралов:
Смотрим: если можно решить по таблицам – решаем.
Если нельзя – пробуем метод частичной замены, если можно что-то взять за u – решаем.
Если нельзя – используем метод замены переменной.
P.S. Старайтесь мыслить следующим образом: от чего мне нужно взять производную, чтобы получить подынтегральное выражение?
Примеры:
11.2 =
11.3 =
11.5 =
5.2 Метод частичной замены переменной.
Алгоритм решения:
Мы должны разбить подынтегральное выражение на u и dv. Выбрав, что-то за u, все оставшееся (с dx) считаем за dv.
Приоритет обозначения u:
1 - , при условии, что они умножается на выражение, состоящее из х в степени.
2 – х в степени (встречается чаще всего), при условии, что умножается на и степени положительные.
3 - - никогда не берутся за u.
Находим du и v по формулам:
и
Подставляем все известные данные в формулу:
При необходимости повторить.
Примеры:
11.35 .
Решение:
Определяем: u=x, dv=sin(3x)dx
du=1*dx; v=
=
11.42
Решение:
Определяем: u= , dv=
du=2xdx; v=
Повторяем:
.
11.47 .
Решение:
Определяем: u= и
; .
=
.