2.6 Системы уравнений.

4.2 (а) Найдите фундаментальную систему решений:

Алгоритм решения:

1. Записать в виде матрицы и привести к треугольному виду (при этом стоит над каждым столбцом подписывать соответствующую переменную, чтобы избежать путаницы):

.

2. Начиная с нижней строки, начинаем находить переменные, записывая строку в виде уравнения. Если в уравнении больше одной переменной, то берем одну из переменных за t (если в одном уравнении три переменных, то вводим 2 переменные). Берем за t ту переменную, перед которой стоит наибольший по модулю коэффициент (в данном примере этот коэффициент -2, а значит, обозначаем за доп. переменную ):

3. Записываем ответ в формате:

Ответ: .

4.6.(а) Представьте общее решение в виде суммы частного решения и общего решения соответствующей однородной системы:

Решение:

1. Записываем в виде матрицы и приводим к треугольному виду:

.

2. Начиная с нижней строки, начинаем решать. В нижней строке у нас три переменных (при одном уравнении), значит нужно заменить 2 переменные: и (т.к. перед ними наибольшие коэффициенты):

3. Записываем ответ в формате:

Ответ: .

P.S. в первых строках мы пишем элементы из , во вторых из и т.д.

2.7 Собственные векторы.

. Где - исходная матрица, - собственный ненулевой вектор,

- собственное значение, Е – единичная матрица

.

Нахождение соб. вектора делается в два шага:

1. Нахождение собственного значения. Для этого , т.е. =0

   

2. Нахождения соб. вектора. Для этого в матрицу вида:

Подставляем собственное значение (если их несколько находим для каждого соб. вектор) и находим вектор .

Пример:

5.3(а) Найдите собственные векторы и собственные значения матрицы: .

Решение:

1. P.S. Определитель нашли через метод миноров и алгебраических дополнений.

2. А)

.

P.S. т.к. у нас во всем примере нет ни одного коэффициента при , это не значит, что он равен нулю, поэтому его необходимо записать через новый параметр .

Б)

5.4. При каком значении параметра матрица имеет собственный вектор , соответствующий собственному значению ?

Совет:

В задачах подобных этой мы не используем первый шаг. Мы сразу записываем матрицу и если у нас есть , то подставляем его, записываем матрицу в виде системы и подставляем координаты иксов.

P.S. если не дано, то все равно подставляем иксы и решаем системы с двумя неизвестными ( и а).

Решение:

На самом деле этот пример легче предыдущего, т. к. нам не нужно искать соб. значение – оно нам уже дано. Запишем сразу второй шаг:

. Записываем нашу матрицу в виде системы и подставим :

Теперь, вместо иксов подставим их значения из вектора, данного в условии:

Ответ: а=3.

Глава III. Пределы.

Для начала напомним, что: ; ; - неопределенности. Для того, чтобы определить какого типа перед нами неопределенность (если она вообще есть), необходимо для начала подставить значение , к которому стремится х.

Условно можно разбить способы нахождения пределов на несколько типов, относительно неопределенности:

1. Неопределенность типа .

Для того чтобы найти пределы подобного вида, необходимо вынести из числителя и знаменателя х в наибольшей степени, а затем сократить и подставить значение .

Примеры:

6.3 .

Решение:

6.8 .

Решение:

Видно, что максимальная степень, которую можно вынести из числителя - (при вынесении из-под корня образуется как ).

Максимальная степень, которую можно вынести из знаменателя - (при одновременном вынесении из-под корня и из скобки n образуется ).

2. Неопределенность типа .

Почти всегда неопределенность данного вида имеет вид разности корней. Для решения необходимо домножить выражение на сопряженное (т.е. разность корней умножить на их сумму) по правилу: .

Пример:

6.20 .

Решение:

.

3. Неопределенность типа .

Для решения данного типа неопределенности необходимо из числителя и знаменателя вынести через деление столбиком, затем сократить и, подставив , найти предел.

Пример:

7.1(б) .

Решение:

4. Второй замечательный предел.

Обычно второй замечательный предел после упрощений выглядит так: , где k стремится к бесконечности, а к нулю. Раскрывается он следующим образом:

.

Пример:

6.32 .

Решение:

.

5. Правило Лопиталя.

Для раскрытия неопределенностей типа или , можно использовать правило Лопиталя:

, при условии, что и - дифференцируемы в окрестности .

Пример:

7.1(в) .

Решение:

.