4. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.
Пусть ф-ция f(x) определена на X. Ф-ция F(x) – первообразная для f(x) на X, если F’(x)=f(x) для любого x € X.
F(x) – первообразная, F(x)+C – первообразная.
для
;
Совокупность всех
первообразных F(x)+C
для ф-ции f(x),
определенное на X,
называется неопределенным интегралом
от ф-ции f(x)
на X
и обозначается
;
Основные свойства неопределенного интеграла.
1).
2).
3).
4).
5. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Теорема:
Пусть
определена
и диф-ма на X.
U-
множество значений ф-ции
.
Для f(U)
существует F(U)
на U.
Тогда для g(x)
на X
сущ-т первообразная
,
т.е.
Док-во:
На практике:
6. Интегрирование по частям. Основные классы функций, интегрируемых по
частям.
Т. Пусть
функции U(x)
и V(x)
непрерывны на некотором промежутке X,
дифферинциируемы в его внутренних
точках и на Х существует
,
тогда
На Х существует
,
причем
=
u(x)v(x)-
,
или
;
Док-во:
d(uv)=vdu+udv;
7. Интегрирование рациональных функций.
Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.
Типы дробей:
1)
,
2)
,3)
,4)
1)
2)
3)
4)
- рекуррентная
формула
Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.
8. Интегрирование тригонометрических функций.
tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.
;
;
;
Специальная тригоном. подстановка:
R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;
R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;
R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;
Интегралы вида:
m,n
Z, m,n >= 0;
Одно из чисел m, n – нечетное, тогда sinx=t,cosx=t;
Оба нечетные или четные -
m,n Q
это дифференц. Бином
-
для гиперболических функций аналогично
Универсальная подстановка – th(x/2) = t, и так далее…
9. Интегрирование иррациональных функций.
;
;
n1,n2…
N,
m1,m2…
Z
,
где s-общий
знаменатель дробей m1/n1,
m2/n2
…
,
тогда
Вид интеграла |
Тригоном. подстановка |
Иррацион. подстановка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m,n,p Q; a,b R
1) p
Z,
тогда
,
где s-общий
знаменатель дроби
2)
3)
,
где s-
знаменатель дроби
Во всех остальных случаях интеграл не выражается, т. е. является не берущимся.
10. Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл.
Ограниченность интегрируемой функции. Основные классы интегрируемых
функций.
y=f(t), кот определ на [a,b].
а<b,
τn={x0,
x1,
x2,..,xn
|a=x0<x1...<xn=b|}
Δxk=xk-xk-1-длина отр.[xk-1,xk], к=1,n.
λ=max ∆xk – диаметр разбиения 1≤k≤n
k€ [xk-1,xk], k=1,n,
σn=f(ε1)Δx1+ f(ε2)Δx2+..+f(εn)Δxn=∑f(εk)Δxk Интегральн.сумма.
Опр:если сущ. конечн.предел инег.суммы Р, при λ→0 независящ. от способа разбиения τn [a,b] и выбора промежуточных точек εk то этот предел – опред.интеграл (Р) на [а,b] от y=f(x).
Е
сли
этот lim
сущ, то y=f(x)
интегрируемая по Риману на [a,b].
R[a,b]-
класс всех ф-ций интегр. на [a,b].Опр.
интег.-это число; неопр.интег.-совокупность
всех первообразных.
Геометр. смысл ОИ. y=f(x) неприрывна на [a,b]. f(x)≥0.
A
B;
x=a; x=b; [a,b] –криволин.интегр.
Ограниченность ∫-ой ф-ции.
1.(необход.условие ∫-ти ф-ции). Если y=f(x) ∫-ма по Риману то она ограничена. f(x) € R[a,b] →сущ.М>0, |f(x)|≤M, для любых х€[a,b].
Д-во: предположим, что f(x) не огран. на [a,b] тогда при люб. разбиении τn найдется часть от k [xk-1,xk] на котором f(x) не ограничена. В этом случае можно выбрать εk€[xk-1,xk], таким обр, чтобы |f(εk)|>любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечного limx→0 n
Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a,b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным.
1, х – рацион.
D(x)= 0, х – иррац.
D(x) – огр. на [0,1]
ε
k-рац.
εk-ирррац
D(x) – не инт. по Р., но она огр.
Теорема 1: f(x) непр. [a,b], то она явл. интегр.
Теорема 2: f(x) кусочно-непрер. на [a,b]
Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a,b], если она огранич. и непрер. на отр. [a,b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода.
Теорема 3: Ф-ция f(x) монотонная на [a,b] интегр. на [a,b] …