11. Свойства определенного интеграла.

1. f(х)dх=0

2. dх=b – a; f(x)1

3. f(х)dх= - f(х)dх

4. f(x)R [a,b]; C f(х)dх=C f(х)dх=

5. f(x), g(x)  R [a,b], то f(x)+g(x)  R [a,b]; (f(х)+g(x))dх= f(х)dх+ g(х)dх

6. (аддитивность опред. ин-ла)

 a, b, c f(х)dх= f(х)dх+ f(х)dх

7. Если f(xх[a,b], то f(х)dх0, a>b f(х)dх=

8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)R [a,b], f(x)g(x) x[a,b], то f(х)dх< g(х)dх, a<b

Док-во: g(x) – f(x)0 x[a,b], 0 (g(x) – f(x))dx= g(х)dх - f(х)dх

9. Если f(x)R [a,b], то |f(x)|R [a,b]

| f(х)dх | |f(х)|dх

10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a) f(х)dхM(b-a) mf(x)M; x[a,b] m dх  f(х)dхM dх m(b-a) f(х)dхM(b-a), a<b

11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a,b], то  т. [a,b], что выполн. рав-во f(х)dх=f()(b-a)

Док-во: f(x) непр. на [a,b], m – min зн. f(x) на [a,b], M – max; x[a,b] mf(x)M; иссл. оценку ин-ла:

m(b-a) f(х)dхM(b-a), b-a>0

: (b-a) m( f(х)dх) / (b-a))M; ::= f(х)dх) / (b-a)

найдется такая , что f()=,[a,b] => f(х)dх=f()(b-a) ч.т.д.

12. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл вида f(t)dt=Ф(x), x [a,b] – интеграл с перем. верхним пределом.

Теорема 1: пусть f(x) непрерыв. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt тоже непрерыв. на [a,b]

Док-во: х [a,b] возьмем (х+ х) [a,b]. Рассмотрим Ф(х)=Ф(х+ х)-Ф(х)= f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt=f( ) х, где [х, х+ х].

Ф(х)=f( ) х.

х 0 => Ф(х) 0, что означает непрерывность Ф(х) в точке х.

т.к. х – любое, то Ф(х) непрерыв. на [a,b]. ч.т.д.

Теорема 2 (т. Барроу):пусть f(x) непрер. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt явл. первообразной для f(x) на [a,b], т.е. ( f(t)dt)=f(x)

Производная от интеграла с перем. верхним пределом равна подинтегр. ф-ции от перем. предела.

Док-во: Ф(х)=f( ) х, где [х, х+ х]

( f(t)dt)=Ф (x)=lim _{х 0} Ф(х)/ х= lim _{х 0} f( ) х/ х= lim _{х 0} f( ) (тогда х) =f(x) ч.т.д

f(х)dх= f(t)dt+С

Пусть F(x) – некот. первообразная для f(x)

Ф(х)=F(х)+С₀

f(t)dt=0

0=Ф(a)=F(а)+С₀ => С₀ = -F(а) => Ф(х)=F(х)-F(а)

Ф(b)=F(b)-F(а)

f(х)dх=F(b)-F(а) – ф-ла Ньютона-Лейбница

Вывод: если f(х) непрер. на [a,b], то для любой ее первообразной F(х) на [a,b] имеет место ф-ла Н.-Л.

13. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема 1 (внесение множителя под знак дифференциала): Пусть u=(x) непрер. дифференцируема на пром-ке с концами a и b; пусть f(u) непрер. на множ-ве значений u=(x) Е().

Тогда f((x)) (х)dx= f(u)du

Док-во: если f(u) имеет первообр. F(u), то f((x)) (х) имеет первообр. F( (x))

f((x)) (х)dx= F( (x)) |^b_a= F( (b)) - F( (a)); f(u)du=F(u) |^(b)_(a)= F( (b)) - F( (a)) ч.т.д.

Теорема 2 (вынесение множителя из-под знака диф-ла): Пусть х=(t) непрер. диф-ма на (,); (t)>0 (=> возрастает) ((t)<0); ()=a; ()=b; пусть f(x) непрер. на пром-ке с концами a и b, тогда

f(х)dх= f((t)) (t)dt

Док-во: g(t)= f((t)) (t); если g(t) имеет первообр. G(t) на (a,b), то f(x) имеет первообр. F(x)=G(^-1(x)) (сущ-ние ^-1(x) гарантировано монотонностью: ^-1(x)>0 (<0)); f((t)) (t)dt= G(t) |^_=G() – G()

f(х)dх=G(^-1(x)) |^b_a=G(^-1(b)) - G(^-1(a))= G() - G() ч.т.д.