14. Интегралы от четных, нечетных и периодических функций. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.
Теорема: Пусть
f(x)
интегр. на [-a,a],
тогда если f(x)
четная, то
,
если нечетная, то
.
Если f(x) – непрерывная с периодом T, интегрируемая на некотором отрезке длины Т, то она интегрируема на любом отрезке длины Т.
Док-во:
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
-
непр. диф-е ф-ции на
;
;
;
15. Вычисление площадей плоских фигур (в т.Ч. Площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде, и площади плоской фигуры в полярной системе координат).
Вычисление площадей плоских фигур.
В
декартовой системе координат
f(x)-непрерывна
x=a,x=b; отр [a,b] оси оХ
В
параметрическом виде.
;
;
разбиваем:
;
В полярной системе координат
;
;
;
;
;
;
16. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .
Длина ломаной
линии, которая соответствует дуге, может
быть найдена как
Тогда длина дуги
равна
Из геометрических
соображений:
В то же время
Тогда можно показать, что
Т.е.
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем
где х = j(t) и
у = y(t).
Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то
Если кривая задана в полярных координатах, то
18. Несобственные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.
Исследование на сходимость: признаки сравнения для интегралов от
неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение.
Определение НИ-1.
Пусть f(x) определена
на
и инт на
;
,
т.е.
Пусть
Если этот lim существует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.
;
Свойтсва НИ-1.
Аддитивность
Если
сходится, то
,
;
Линейность
Если
сходится и
сходится, то
сходится и
Вычисление и преобразование НИ-1.
Формула Нбютона-Лейбница.
Если f(x)
непрерывна на
и F
– какая-то первообразная для ф-ции f(x),
то
Интегрирование по частям.
Если U,V
– непрер. Диф-мы ф-ции на
,
то
Исследование на сходимость.
Т1: Пусть ф-ции f(x)
и g(x)
,
тогда если
и
,
то
сходится
сходится
расходится
пасходится
Предельный признак сравнения для НИ-1.
Т2: Пусть
,
;
,
тогда если
конечный
,
то
и
сходятся или расходятся одновременно.
При k=1
при
Т3: Если
и
сходится, то
сходится.
Определение: называется абсолютно сходящимся, если сходится .
Если расходится, а сходится, от - неабсолютно (условно) сходящийся .
Главное значении.
Главным значением
называется
;
VP-Value
principul
Если
и сходится, то
и
