37. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная
форма и вычисление.
Механический смысл КРИ-2:
(М)
– вектор силы; L=AB;
Работа силы по перемещению вдоль L.
Если
(М)
– переменная сила, а AB
– кривая, то:
-
настолько малы, что перемещение на
кусочек по направлению совпадает с
единичным касательным вектором.
-произвольная
точка.
(
)
– постоянная сила.
=(
(
),
)=(
(
),
)
!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линии L.
Скалярная форма кри-2
Вычисление КРИ-2
,
Вывод: в общем случае КРИ-2 зависит от пути интегрирования.
38. Формула Грина.
Область наз. односвязной если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку с помощью непрерывной деформации, при к-й не границы области не пересекаютя.
Область D наз. односвяз., если каков бы ни был замкн. контур l , лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром конечн. часть пл-ти целиком принадл. D.
Порстая область: замкн. пл-ть D (обл. вместе с её границами) – её можно разбить на конечное число как y- так и x- трапецивидных областей.
Например: круг, прямоугольник, кольцо.
Теор. Грина: пусть
P(x,y),
Q(x,y)
и
и
непрерывны в простой области D
тогда
где L – граница области D, к-я обходится в положительном направлении.
Док-во
Предположим D – односвяз. область, огр. L – полож. ориентир. Предположим, что оюл. D такова, что прямые параллельн. осям пересекают ее не более, чем в 2-х точках.
Для I2 – аналогично.
Формула Грина имеет место для любой простой области.
Если контур обходится в обратном направлении, то перед двойным интегралом ставится «-».
39. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
Условие независимости КРИ-2 от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:
1)
,
где L
– любой замкнутый контур Д.
2)
не
зависит от пути AB.
3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \
4) dP/dy=dQ/dx в области Д.
Доказательство:
где
.
Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.
Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.
Первый способ:
U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy
Второй способ:
;
{
;
}
;
не зависит от пути
40. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная
форма и вычисление.
Физический смысл ПОВИ-2 – поток жидкости через пов-ть в единицу времени.
M (x,y,z) – вектор скорости жидкости. a (M) = P(x,y,z)i +Q (x,y,z)j + R(x,y,z)k
1)
;
2)
3)
;
4)
5)
ПОВИ-2 есть поток
жидкости (поток векторного поля a(M))
через ориентированную поверхность
.
Скалярная форма
ПОВИ-2.
;
ПОВИ-1 для
;
ПОВИ-2 для P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) x,y,z-пректируемое
E, F(x,y,z)=0; x=x(y,z); y=y(x,z): z=z(x,y)
Замечания: если прямая, параллельная к-л из координатных осей пересекает поверхность более чем в одной точке, то пов-ть следует разбить на несколько пов-тей и воспользоваться свойством аддитивности ПОВИ-2.
- ПОВИ-2
Формула
Астроградского. Пусть
V-ограниченая
область, граница которой состоит из
конечного числа кусочно-гладких
поверхностей. Пусть ф-ции P,Q,R
и их частные производные dP/dx;
dQ/dy;
dR/dz
непрерывны в замкнутой области V,
тогда справедливо следуещее равенство:
ПОВИ-2 берется по
внешней стороне пов-ти
,
ограниченной областью V.
Если пов-ть не замкнутая, но ее можно замкнуть простыми пов-ми, то дополнить, применить формулу Астроградского к замкнутой пов-ти, вычислить ПОВИ-2 по простым дополняющим пов-м и из интеграла по замкнутой пов-ти вычесть результат для дополнительных пов-тей.