- •1.Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной
- •2.Многочлены и их делимость. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.
- •3. Рациональные дроби и их разложение на сумму простейших дробей. Методы нахождения коэффициентов разложения.
- •4. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •9. Интегрирование иррациональных функций.
- •10. Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл.
- •11. Свойства определенного интеграла.
- •12. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •13. Замена переменной в определенном интеграле.
- •14. Интегралы от четных, нечетных и периодических функций. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •15. Вычисление площадей плоских фигур (в т.Ч. Площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде, и площади плоской фигуры в полярной системе координат).
- •16. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •18. Несобственные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.
- •19. Несобственные интегралы второго рода
- •21. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
- •22. Частные производные
- •23 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые
- •24. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
- •25. Неявные функции и их дифференцирование.
- •26. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и
- •27. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •28. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •29. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое
- •30. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в
- •31. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения
- •32. Криволинейный интеграл первого рода
- •33. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.
- •34. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.
- •Замена переменных в тройном интеграле.
- •35. Поверхностный интеграл первого рода.
- •36. Интегралы по ориентированной фигуре от векторной функции и их свойства.
- •37. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная
- •Скалярная форма кри-2
- •38. Формула Грина.
- •39. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
- •40. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная
- •41. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •42. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула
- •43. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути в пространстве.
- •43. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •45 Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •46.Соленоидальное векторное поле. Гармоническое векторное поле.
32. Криволинейный интеграл первого рода
Криволинейный интеграл 1го рода.
1). ; - диф-ма на [a,b];
; L: x=g(y);
;
2). ; x(t),y(t) – непрерывно диф-ма на ; L:
;
3). ; ; L:
4). ; ;L: ;
; ;
33. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.
Двойной интеграл, его вычисление в декартовой прямоугольной системе координат.
; ;
y-трапецевидная область Д.
x-трапецевидная область Д
Пусть в основании цилиндрического тела лежит y-трапецевидная область.
; ;
для y-трапецевидной области
для x-трапецевидной области
Замечание: области более сложного вида разбиваются на сумму трапецевидных областей.
Замена переменной в двойном интеграле.
( *)
Свойства
x(u,v), y(u,v) – взаимно однозначны
x(u,v), y(u,v) – непрерывные, непр. частн. пр-е 1-го порядка
P1: x(u,v), y(u,v)
P2: x(u+∆u,v), y(u+∆u,v)
I – Якобиан(Якоби)
Модуль I – коэффициет растяжения площади в т. с координатами u и v при отображении D на D’.
Вычисление в полярной сист координат.
,
a)
b )
c)
34. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.
Тройной интеграл.
: , z меняется от поверхности до поверхности.
Замечание: Области более сложного вида надо разбить на области более простого вида. Проектирование области V можно производить и на другую плоскость.
Замена переменных в тройном интеграле.
, где |I| - модуль Якобина.
Геометрический смысл: |I| -коэффициент растяжения объёма при отображении области V на область V’
В цилиндрических координатах:
В сферических координатах:
35. Поверхностный интеграл первого рода.
Поверхностный интеграл1-го рода (ПОВИ-1).
, -гладкая(в каждой точке существует касательная плоскость). Пусть такова, что прямая параллельная OZ пересекает её не более чем в 1-ой точке. Тогда z=f(x,y);
;
Примечание: Можно проецировать и не на поверхность XOY. Например: x= (y,z);
36. Интегралы по ориентированной фигуре от векторной функции и их свойства.
Интеграл по ориентированной фигуре от векторной ф-ции.
Векторная ф-ция 3х переменных x,y,z, определенной на фигуре Ф. Ф-ции P,Q,R называются координатами . Фигура Ф называется ориентированной, если в каждой ее точке М задан некоторый вектор , характеризующий эту фигуру. Диния называется ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения.
Гладкая поверхность называется двусторонняя, если нормаль к ней при обходе по замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается к своему первоначальному положению.
1). ; 2). ; 3). ; 4).
5). ; n-я интегральная сумма для векторной ф-ции a(M) по ориентированной с помощью вектора P(n) фигуре Ф. ; 6). (*)
Если (*) существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по орентированной фигуре Ф от векторной ф-ции a(M).
P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) a=(P,Q,R)
Если ф-ции P,Q,R непрерывны на гладкой, ограниченной, содержащей граничные точки ориентированной фигуре Ф, то интеграл существует.
Частные случаи интегралов по ориентированной фигуре.
Свойства интеграла по фигуре от векторной ф-ции.
1). ; 2). , c=const
3). ; 4).