Билет 1. Матрицы. Основные понятия

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами A, B, C, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца.

3) Нулевая матрица: ;

4) Квадратная матрица – если

5) Диагональная матрица (напр. 3-го порядка, где любые числа ):

6) Единичная матрица, где все элементы, кроме главной диаг=0, а эл-ты глав диаг=1

7) Треугольная матрица – квадратн матр, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали = 0. Бывают верхние и нижние 3угольные матрицы.

8) Матрицы произвольного размера называют квази3угольной, ступенчатой или трапециевидной.

9) Матрицы равны, если имеют одинаковые размер.

Билет 2. Действия над матрицами. Их св-ва.

1.Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число _λ называется матрица B= _{λ *A} ,элементы которой b_ij= _λ*Aij для i=1,2..m, j=1,2..n. Если _λ=0, то A*0=0 (нулевая матрица того же размера).

2.Сложение матриц.

Суммой матриц A и B одинакового размера m*n называется матрица C=A+B, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij для i=1,2..m, j=1,2..n.

3.Вычитание матриц.

Разность матриц одинакового размера определяется как A-B=A+(-1)*B.

4.Умножение матриц.

Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц A_m*k*B_k*n называется матрица C, каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B:

, где

Свойства операций сложения и умножения матриц

1. . 5) .

2. . 6) .

3. . 7) .

4. .

8) (в общем случае). Кроме того, если существует, то может вообще не существовать.

9) , где - единичная квадратная матрица.

10) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. если , то не следует, что или .

5.Возведение в степень.

Целой положительной степенью квадратной матрицы называют произведение матриц, равных , т.е. .

6.Транспонирование матриц.

Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. т.е. если имеет размер , то имеет размер .

Свойства операции транспонирования.

., , .,

Билет 3. Определители 2-го и 3-го порядков. Определения. Свойства.

Опред-ль 2-го порядка=минор, опред-ль 3-го пор-ка=алгебр дополн

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу , необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы обозначают , _{дельта (треугольник)} ,_{det A}.

1) Определителем матицы

1-го порядка , называется элемент : ;

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

Данная формула получила название правила треугольников или правило Сарруса.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться следующей схемой, показывающей произведения каких элементов берутся со знаком “+”, а каких со знаком “-“:п

.

Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбца) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число ,то ее определитель умножится на это число .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .

4. При перестановки двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя – есть сумма двух слагаемых, то этот определитель – сумма двух определителей, причем в первом из них соответственно столбец (строка) состоит из первого слагаемого, а в другой – из второго.

10. Если элементы какого-либо столбца (строки) = 0, за исключением одного, то такой определитель равен этому, неравному 0, элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

11. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа .

12. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где , а и - матрицы -го порядка.

Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисления для определителей высоких порядков. При этом с помощью свойств 1-9 желательно преобразовать исходную матрицу таким образом, чтобы она имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом вычислить определитель, разложенный по этой строке (столбцу).

Билет 4. Определители n-ного порядка. Вычисление. Свойства.

По той же формуле, что и определители 3-го определителя. 2 Метода: как и опред 3-го порядка, продолжая понижать///или приведение к треугольному виду: в этом случае опред-ль = произведению чисел на главн диагонали.

Билет 5. Обратная матрица. Определение. Вычисление.

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1*А=А* А^-1=Е.Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Определение. Матрица является невырожденной (неособенной), если |A|≠0, в противном случае при матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле: А^-1=1/|A| *A^, где A^ - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е. .