27. Дифференцируемость и непрерывность.
Найдем
производную следующей функции 
.
Хорошо известно, данная функция является
непрерывной и, что ее производная будет
следующей:
Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:
данный
предел равен 1, если 
и
равен (-1), если 
,
получаем, что предел не существует,
следовательно в нуле производной нет
и функция в нуле не дифференцируема.
28. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная линейной функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная логарифма.
Производная функции м.б. найдена по схеме:
Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .
Находим приращение функции
.Составляем отношение
.Находим предел этого отношения при , т.е.
(если этот предел существует).
Основные правила дифференцирования
Производная постоянной равна нулю, т.е. .
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
При
любых
и
имеем
и
.
Отсюда при любом
отношение
и, следовательно,
■
Производная аргумента равна единице, т.е. .
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим
функцию
.
При любых
и
имеем
и
.
Отсюда при любом
отношение
и, следовательно,
■
Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
.
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.
.
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции по схеме:
Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .
Найдем приращение функции:
.Составим отношение , которое представим в виде:
.Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах:
На основании определения производной получили, что:
или
.
■
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:
.
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
(при
условии, что
).
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
1) Дадим аргументу х приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .
2)
Найдем приращение функции:
3)
Составим отношение
,
которое представим в виде:
4)
Найдем предел этого отношения при
,
используя теоремы о пределах:
■