- •Свойства определителей
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •Элементарные преобразования матрицы:
- •Метод обратной матрицы.
- •Условие совместимости линейных уравнений. Теоремы о числе решений (без доказательств).
- •14. Методы Гаусса решения слау.
- •Пример. Методом Гаусса решить систему:
- •15. Однородные системы линейных уравнений.
- •16. Виды числовых множеств.
- •17. Понятия отображения и функции. Способы задания функции.
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •19. Понятия абсолютной величины. Свойства.
- •20. Монотонные и ограниченные функции. Четные и нечетные. Периодические функции. Сложная и обратная функции.
- •21. Предел функции х→∞и при х→х0. Односторонние пределы. Свойства пределов.
- •Свойства пределов функции
- •22. Числовые последовательности и их пределы. Свойства пределов.
- •23. Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно малые величины
- •Связь бесконечно малых величин с пределами функций
- •Свойства бесконечно малых величин
- •Сравнение бесконечно малых
- •24. Замечательные пределы: число е. Следствия из 2-го замечательного предела. Второй замечательный предел.
- •25. Непрерывность функции. Точки разрыва 1-го и 2-го рода.
- •26. Понятие производной. Геометрический и механический смысл. Определение производной
- •27. Дифференцируемость и непрерывность.
- •28. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная линейной функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная логарифма.
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •29. Правила дифференцирования. Производная от обратной функции. Производная степенной и показательной функции. Логарифмическое дифференцирование.
- •30. Правила дифференцирования. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции
- •31. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Свойства. Инвариантность формы.
- •Инвариантность формы дифференциала
- •32. Производные высших порядков.
- •33. Дифференциалы высших порядков.
- •34. Правило Лопиталя.
29. Правила дифференцирования. Производная от обратной функции. Производная степенной и показательной функции. Логарифмическое дифференцирование.
Производная логарифмической функции.
А) . Воспользуемся схемой нахождения производных:
1) Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .
2) Находим приращение функции .
3) Составляем отношение .
4) Находим предел этого отношения при , т.е. .
Обозначив , найдем и .
В силу непрерывности логарифмической функции, используя 3 свойство функций непрерывных в точке. (Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке - ), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа ; получим:
. Итак, и .
Б) . Найдем , т.е.
и .
Производная показательной функции.
А) - прологарифмируем обе части равенства по основанию : . Дифференцируем или , откуда , т.е.
и .
Б) . . Итак,
и
Производная степенной функции.
, для любого . Прологарифмируем обе части равенства . Дифференцируем: , откуда , т.е:
и
Производная степенно-показательной функции.
. . Дифференцируем: .
30. Правила дифференцирования. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
Производная тригонометрических функций.
и
и
и
и
Производная сложной функции
Пусть задана сложная функция .
Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е.
.
□ Дадим независимой переменной х приращение Δх≠0. Тогда функция u= φ(x) и у=f(u) соответственно получат приращения Δu и Δy.
Предположим, что Δu≠0. Тогда в силу дифференцируемости функции у=f(u) можно записать где - f′(u) величина не зависящая от Δu.
На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций где - бесконечно малая величина при Δu → 0, откуда
Это равенство будет справедливо и при Δu = 0, если полагать, что α(∆u=0)=0 (т.е. доопределить таким образом функцию α(∆u) при ∆u=0).
Разделив обе части последнего равенства на Δх≠0, получим
Так как по условию функция у=φ(х) дифференцируема, то она непрерывна в точке х, следовательно, при Δх → 0 Δu → 0 и α(∆u) → 0 .
Поэтому, переходя к пределу при Δх → 0 в последнем соотношении, получаем ■
31. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Свойства. Инвариантность формы.
Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда:
. ( 7.1)
Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:
1) - линейного относительно , т.к. ;
2) - нелинейного относительно , т.к. .
Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
. ( 7.2)
Пример. Найти приращение функции при и :
Решение. ,
Пример. Найти дифференциал функции .
Решение. По формуле (7.2.) имеем .
Определение. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
( 7.3)
Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:
( 7.4)
Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .
|
Геометрический смысл. На графике функции (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументу приращение , тогда функция получает приращение . В точке проведем касательную, образующую угол с осью . Из треугольника : . Из имеем: . Таким образом, и соответствует формуле (7.1). |
Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
-
1)
4)
2)
5)
3)