- •Свойства определителей
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •Элементарные преобразования матрицы:
- •Метод обратной матрицы.
- •Условие совместимости линейных уравнений. Теоремы о числе решений (без доказательств).
- •14. Методы Гаусса решения слау.
- •Пример. Методом Гаусса решить систему:
- •15. Однородные системы линейных уравнений.
- •16. Виды числовых множеств.
- •17. Понятия отображения и функции. Способы задания функции.
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •19. Понятия абсолютной величины. Свойства.
- •20. Монотонные и ограниченные функции. Четные и нечетные. Периодические функции. Сложная и обратная функции.
- •21. Предел функции х→∞и при х→х0. Односторонние пределы. Свойства пределов.
- •Свойства пределов функции
- •22. Числовые последовательности и их пределы. Свойства пределов.
- •23. Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых. Бесконечно малые величины
- •Связь бесконечно малых величин с пределами функций
- •Свойства бесконечно малых величин
- •Сравнение бесконечно малых
- •24. Замечательные пределы: число е. Следствия из 2-го замечательного предела. Второй замечательный предел.
- •25. Непрерывность функции. Точки разрыва 1-го и 2-го рода.
- •26. Понятие производной. Геометрический и механический смысл. Определение производной
- •27. Дифференцируемость и непрерывность.
- •28. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная линейной функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная логарифма.
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •29. Правила дифференцирования. Производная от обратной функции. Производная степенной и показательной функции. Логарифмическое дифференцирование.
- •30. Правила дифференцирования. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
- •Производная сложной функции
- •31. Дифференциал функции. Геометрический смысл. Свойства. Инвариантность формы.
- •Инвариантность формы дифференциала
- •32. Производные высших порядков.
- •33. Дифференциалы высших порядков.
- •34. Правило Лопиталя.
Метод обратной матрицы.
Запишем систему в матричной форме: A*X=B, где
- матрица коэффициентов при переменных,
- матрица-столбец переменных; - матрица столбец свободных членов.
Умножим слева обе части равенства на матрицу А-1: А-1*(A*X)=А-1*B => (А-1*A)*X=А-1*B => E*X=А-1*B => X=А-1*B. Таким образом, решение системы в матричном виде X=А-1*B.
Билет 11. Система уравнений n*n . Теорема Краммера (без доказательств)
Спросить у Сережи!!!
Теорема Крамера. Пусть |A| - определитель матрицы A системы, а |A|j - определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой J-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если |A| ≠0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: xj=|A|j/|A|, (j=1,2…n). В соответствии с обратной матрицей , где - матрица, присоединенная к матрице . Т.к. элементы матрицы есть алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к , то запишем равенство в развернутой форме:
.
Учитывая, что , получим после умножения матриц:
, откуда следует, что для любого .
На основании свойства 9 определителей , где - определитель матрицы, полученной из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Следовательно .
Билет 12. Система уравнений m*n. Элементарные преобразования системы.
Опр: Под Эл-тами преобраз СЛАУ поним след операции:
1) Умножение какого-либо ур-я из сист на m≠0.
2) Прибавл-е к одному ур-ю другого, умнож на произв число.
3) Переставить местами 2х ур-ей системы.
Каждому элементарн преобраз сист соотв аналогичное преобраз над строками расширенной матрицы этой сист и наоборот; поэтому эл преобр сист удобно заменить соотв эл-тами преобраз над строками ее расширенной матрицы. (???)
Теор: При эл преобр сист переходит в равносильную систему.
Условие совместимости линейных уравнений. Теоремы о числе решений (без доказательств).
rA*≥rA
Теор: Для совместности сист 1, необх и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расшир матрицы. rA*=rA
Теор. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. rA*=rA=n , то система имеет единственное решение.
Теор. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.
Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Определение. Те r неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные (n-r) неизвестных называются свободными (или неосновными).
Решить систему уравнений в случае r<n - это значит выразить базисные переменные через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все (n-r) свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным.