3.2.2.Мгновенная поставка, возникновение дефицита допускается.

График измене­ния текущего объема запа­са показан на рис. 3.6, где y₁ – максимальный уровень запаса, Т₁ – период пополнения.

Начальный запас в каждом пе­риоде будет исчерпан к моменту времени t₁, то есть .

На интервале [0, t] y₀(t)>0 и имеют место издержки хранения

На интервале [t₁, T₁] y₀(t)<0 (имеет место дефицит), и склад выплачивает штраф в размере

Знак «минус» перед интегралом учитывает, что дефицит равен объему запаса с противоположным знаком.

Функция затрат в единицу времени

(3.7)

Для определения оптимальных параметров стратегии управления запасами приравниваем производные функции (3.7) по у₁ и T₁ нулю, то есть

Из первого уравнения находим

(3.8)

и, подставляя его во второе уравнение, получим

(5.9)

Подставляя выражение (3.9) в уравнение (3.8), находим

(3.10)

Из формулы (3.7) с учетом выражений (3.9) и (3.10) находим минимальные затраты в единицу времени на пополнение, хранение запасов и выплату штрафов:

(3.11)

Из выражений (3.9) – (3.11) и формул Уилсона (3.5) и (3.6) следует, что задалживание спроса (то есть ликвидация недостач пу­тем накопления требований до очередной поставки и выплаты штрафов) позволяет в раз уменьшить максимальный уровень запаса, минимальное значение функции затрат и частоту заказов (увеличить период пополнения) по сравнению со случаем отсутствия дефицита. Если c₂>>c₁, то и формулы (3.9) – (3.11) совпадают с формулами Уилсона.

Объем заказа при наличии дефицита

(3.12)

превышает объем заказа при отсутствии дефицита в раз.

При фиксированной задержке на время  заказ подается в мо­мент t₃ снижения объема запаса до уровня

Учитывая выражения (5.10) и (5.12), находим

Если  = 0, то в момент подачи заказа на складе имеет место максимальный дефицит объемом .

3.2.3. Поставка с постоянной интенсивностью

Характерна для завод­ского склада, когда продукция производится партиями и с момента запуска ее в производство поступает на склад с постоянной ин­тенсивностью  > (если  < , то система не работает). Запуск производства вызывает фиксированные затраты c₀ на переналадку оборудования, которые не зависят от объема партии.

Г рафик изменения текущего объема запаса изображен на рис. 3.7.

Период времени между поставками содержит четыре ин­тервала:

[0, t₁] – интервал накопления запасов с интенсивностью ( –), максимальный уровень запаса у₂ будет накоплен за время t₁, то есть

;

[t₁, t₂] – интервал расходования запаса с интенсивностью , весь запас будет израсходован к моменту времени t₂, то есть

(3.13)

[t₂, t₃] – интервал накопления дефицита, за время (t₃–t₃) будет накоплен максимальный дефицит

(3.14)

[tз, Т₂] —интервал ликвидации дефицита с интенсивностью ( –), дефицит будет ликвидирован за время T₂ – t₃, то есть

Подставляя в это уравнение t₃ из выражения (3.14) и t₂ из фор­мулы (3.13), находим

Затраты на хранение запасов в течение периода имеют место на интервале [0, t₂] и пропорциональны площади треугольника 0AВ, то есть

На интервале [t₂, Т₂]склад выплачивает штраф, размер кото­рого пропорционален площади треугольника BCD, то есть

Функция затрат в единицу времени

Приравнивая производные этой функции по у₂ и Т₂. нулю и ре­шая полученную систему уравнений, находим

(3.15)

Если возникновение дефицита не допускается (рис. 5.8), то

и параметры Стратегии управления за­пасами

(3.16)

Сравнивая выражения (3.15) с (3.9) – (3.11) и (3.16) с (3.5) – (3.6), можно установить, что при поставке с постоянной интенсивностью максимальный объем запаса, минимальное значение функции затрат и частота заказов уменьшаются в раз. Если , то и из формул (3.15) получаем выражения (3.9) – (3.11), а из (3.16) – (3.5) и (3.6).

Рассмотренные модели управления запасами могут использо­ваться для определения ориентировочных значений параметров стратегии управления запасами при вероятностном спросе.