Пп 7.3. Преобразования координат основные определения и формулы

Преобразования координат

1. Параллельный перенос

П еренесём начало координат из точки О в точку О₁ параллельным переносом осей. Пусть в системе ко­ординат xoy точка М имеет координаты x и y. Система координат xO₁y получена из системы координат xOy параллельным переносом осей, при котором начало координат О₁ имеет координаты x₀ и y₀ в системе координат xOy. Точка М в системе координат xO₁y имеет координаты x и y. Связь между координатами точки M(x,y) и точки M(x,y) в старой и новой системах координат задается формулами:

(1)

(2)

У равнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O₁(x₀,y₀), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей (2).

- уравнение окружности с центром в точке O₁(x₀,y₀) и радиусом R.

Аналогично получаются уравнения других кривых второго порядка:

- уравнения эллипса и гиперболы с цен­тром симметрии в точке O₁(x₀,y₀);

- уравнение параболы с вершиной в точке O₁(x₀,y₀).

При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: , а параболы: . Аналогично преобразуются и уравнения асимптот гиперболы: .

2 . Поворот координатных осей

Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.

Повернём оси координат на угол  относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат xOy равны x и y. Найдём её координаты в системе координат xOy. В треугольнике CMD , OD = x, MD = y.

Следовательно,

x = OA = OB – AB = OB - CD, y = MA = AC + CM = DB + CM.

Поскольку

то

(3)

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x,y) этой же точки при повороте осей на угол .

Формулы, выражающие новые координаты (x,y) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол , то старая система получается поворотом новой на угол (-), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно  на (-).

Выполнив это преобразование, получим

При этом, например, уравнения директрис эллипса (ги­перболы) и параболы принимают вид:

3. Изменение начала координат и поворот осей

Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x₀ по оси ox и на y₀ по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол , то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые:

(4)

и новые координаты через старые:

(5)

4. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Пусть кривая второго порядка задана в общем виде:

.

Приведение этого уравнения к каноническому виду за­ключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это мо­жет быть достигнуто переносом начала координат в центр кривой (x₀,y₀) и поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с коорди­натными осями. Алгебраически это приводит к исчез­новению членов с произведением текущих координат и членов, содержащих их в первой степени, после приме­нения формул (1) и (3).

Уравнения, определяющие центр кривой, если он существует, записываются как

(6)

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными. После переноса на­чала координат в центр (x₀,y₀) уравнение кривой примет вид

, (7)

где .

Чтобы получить каноническое уравнение кривой

,

подвергнем уравнение (7) преобразованию поворота осей координат на угол .

После преобразования получим:

где - новые координаты.

Выпишем из преобразованного уравнения слагаемые второго порядка:

Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержа­щее произведение , коэффициент перед которым равен

Найдём угол поворота из условия В₁=0: .

Если А = С, то и в качестве угла поворота можно выбрать ; если , то выбираем .

ПП 7.3. Преобразования координат
ПП 7.3. № 1	Преобразовать уравнение x^2 – y^2 = a^2 поворотом осей на 45 против часовой стрелки. Решение Так как  = -45, то Отсюда преобразование поворота принимает вид: Подстановка в исходное уравнение дает ху = а^2/2.
ПП 7.3. № 2	Привести уравнение 5x^2 + 9y^2 – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и построить кривую. Решение Сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты: (5x^2 – 30x) + (9y^2 + 18y) +9 = 0, или 5(x^2 – 6x) + 9(y^2 + 2y) +9 = 0. Дополняем члены в скобках до полных квадратов: 5(x^2 – 6x + 9 – 9) + 9(y^2 + 2y + 1 – 1) +9 = 0, или 5(x – 3)^2 + 9(y + 1)^2 = 45. Обозначаем x = x – 3, y = y + 1, x0 = 3, y0 = -1, то есть точка О1(3, -1) – центр кривой. Уравнение в новой системе координат принимает вид: и определяет эллипс с полуосями а = 3, b = который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1).
ПП 7.3. № 3	Определить вид кривой Решение Определим угол поворота осей по формуле (7) п.4.4: Подвергнем уравнение кривой преобразованию: и получим уравнение эллипса . x ^2 + 2y ^2 = 2.
ПП 7.3. № 4	Установить, какую линию определяет уравнение x^2 + y^2 + xy – 2x + 3y = 0. Решение Перенесем начало координат в такую точку О1(х0, у0), чтобы уравнение не содержало х и у в первой степени. Это соответствует преобразованию координат: Подстановка в исходное уравнение дает (x + x0)^2 + (x + x0)(y + y0) + (y + y0)^2 – 2(x + x0) + 3(y + y0) = 0 или x^2 + xy + y^2 + (2x0 + y0 - 2)x + (x0 + 2y0 + 3)y + x0^2 + x0y0 + y0^2 - 2x0 + 3y0 =0. Положим 2x0 + y0 – 2 = 0, x0 + 2y0 + 3 = 0. Решение полученной системы уравнений: x0 = 7/3 и y0 = -8/3. Таким образом, координаты нового начала координат O1(7/3, -8/3), а уравнение принимает вид x^2 + xy + y ^2 = 93/25. Повернем оси координат на такой угол , чтобы исчез член ху. Подвергнем последнее уравнение преобразованию: и получим (cos^2 + sincos + sin^2)x^2 + (cos^2 - sin^2)xy + + (sin^2 - sincos + cos^2)y ^2 = 93/25. Полагая cos^2 - sin^2 = 0, имеем tg^2 = 1. Следовательно, 1,2 = 45. Возьмем  = 45, cos45 = sin45 = После соответствующих вычислений получаем Итак, уравнение эллипса с полуосями в дважды штрихованной системе координат, получаемой из исходной параллельным переносом осей координат в точку О1(7/3, -8/3) и последующим поворотом на угол 45 против часовой стрелки. Уравнение x^2 + y^2 + xy – 2x + 3y = 0 приведено к каноническому виду
ПП 7.3. № 5	Привести к каноническому виду уравнение 4x^2 – 4xy + y^2 – 2x – 14y + 7 = 0. Решение Система уравнений для нахождения центра кривой: несовместна, значит, данная кривая центра не имеет. Не меняя начала координат, повернем оси на некоторый угол , соответствующие преобразования координат имеют вид: Перейдем в уравнении к новым координатам: 4x^2 – 4xy + y^2 – 2x – 14y + 7 = (4cos^2 - 4cossin + sin^2)x^2 + + 2(-4sincos - 2cos^2 + 2sin^2 + sincos)xy + + (4sin^2 + 4sincos + cos^2)y^2 + + 2(-cos - 7sin)x + 2(sin - 7cos)y + 7 = 0. (*) Постараемся теперь подобрать угол  так, чтобы коэффициент при ху обратился в нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение -4sincos - 2cos^2 + 2sin^2 + sincos = 0. Имеем 2sin^2 - 3sincos - 2cos^2 = 0, или 2tg^2 - 3tg - 2 = 0. Отсюда tg = 2, или tg = -1/2. Возьмем первое решение, что соответствует повороту осей на острый угол. Зная tg, вычислим cos и sin: Отсюда, и учитывая (*), находим уравнение данной кривой в системе х,у: (**) Дальнейшее упрощение уравнения (**) производится при помощи параллельного перенесения осей Ох, Оу. Перепишем уравнение (**) следующим образом: Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и компенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим: Введем теперь еще новые координаты х,у, полагая x = x + y = y + что соответствует параллельному перемещению осей на величину в направлении оси Ох и на величину в направлении оси Оу. В координатах ху уравнение данной линии принимает вид Это есть каноническое уравнение параболы с параметром и с вершиной в начале координат системы ху. Парабола расположена симметрично относительно оси х и бесконечно простирается в положительном направлении этой оси. Координаты вершины в системе ху а в системе ху
ПП 7.3. № 6	Какую линию определяет уравнение 4x^2 - 4xy + y^2 + 4x - 2y - 3 =0? Решение Система для нахождения центра кривой в данном случае имеет вид: Эта система равносильна одному уравнению 2х0 – у0 + 1 = 0, следовательно, линия имеет бесконечно много центров, составляющих прямую 2х – у + 1= 0. Заметим, что левая часть данного уравнения разлагается на множители первой степени: 4х^2 – 4ху + у^2 + 4х –2у –3 = (2х – у +3)(2х – у – 1). Значит, рассматриваемая линия представляет собой пару параллельных прямых: 2х – у +3 = 0 и 2х – у – 1 = 0.
ПП 7.3. № 7	1. Уравнение 5х^2 + 6ху + 5у^2 – 4х + 4у + 12 = 0 приводится к каноническому виду х ^2 + 4у ^2 + 4 = 0, или Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса. Однако оно не определяет на плоскости никакого действительного образа, так как для любых действительных чисел х,у левая часть его не отрицательна, а cправа стоит –1. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями мнимого эллипса. 2. Уравнение 5х^2 + 6ху + 5у^2 – 4х + 4у + 4 = 0 приводится к каноническому виду х ^2 + 4у ^2 = 0, или Уравнение также похоже на каноническое уравнение эллипса, но определяет не эллипс, а единственную точку: х = 0, у = 0. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями вырожденного эллипса.

ПП 7.3. № 8

Составить уравнение параболы, если ее фокус находится в точке F(2, -1) и уравнение директрисы D: x – y – 1 = 0. Решение Пусть в некоторой системе координат хО1у парабола имеет канонический вид у^2 = 2рх. Если прямая у = х – 1 является ее директрисой, то оси системы координат хО1у параллельны директрисе. Координаты вершины параболы, совпадающей с новым началом координат О1, найдем как середину отрезка нормали к директрисе D, проходящей через фокус. И так, ось О1х описывается уравнением у = -х + b, -1 = -2 + b. Откуда b = 1 и О1х: у = -х + 1. Координаты точки K пересечения директрисы и оси О1х находим из условия: Координаты нового начала координат О1(х0, у0): Оси новой системы координат повернуты относительно старой на угол (-45). Найдем р = KF = Итак, уравнение параболы в старой системе координат получим, если подвергнем уравнение параболы y ^2 = x преобразованию (см. формулу (5) п.4.3): откуда искомое уравнение параболы имеет вид: х^2 + 2ху + у^2 – 6х + 2у + 9 = 0.

ПП 7.3. № 9

Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е = фокус F(2, -3) и уравнение директрисы 3х – у + 3 = 0. Решение Уравнение директрисы D1: у = 3х + 3 позволяет заключить, что новая ось координат Ох имеет вид y = (-1/3)x + b, проходит через точку F(2, -3), значит, откуда b = -7/3 и Ох задается уравнением Пусть начало новой системы координат находится в точке О1(х0, у0). Найдем координаты точки К как координаты точки пересечения директрисы D1 и оси Ох из системы Геометрические свойства гиперболы, которая в новых осях координат Оху имеет вид позволяют найти КF как расстояние от фокуса F(2, -3) до директрисы D1: 3х – у + 3 = 0. так как Значение а находим из уравнения и получаем При этом b^2 = 18. Уравнение гиперболы в новых координатах имеет вид Координаты нового центра найдем, зная что точка К делит отрезок О1F в отношении Из  АВО: sin = cos = Так как поворот совершается на угол (-): sin(-) = cos(-) = то формулы преобразований координат (см. (5) в п.4.3) принимают вид: и уравнение гиперболы принимает вид 4(3х – у +6)^2 – (х + 3у + 7)^2 = 180 или 7х^2 – у^2 – 6ху – 18у + 26х + 17 = 0.