Пп № 4. Векторная алгебра Основные определения и формулы

В ектор - направленный отрезок.

Векторы коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

- два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

Линейные операции над векторами

С уммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).

Свойства:

1 ˚.

2˚.

3˚.

4 ˚. Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что .

Разностью векторов и будет вектор ,

идущий из конца вектора к концу вектора .

Произведением вектора на вещественное число .

Свойства операции умножения вектора на число:

5 ˚.

6˚.

7˚.

8˚.

Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости

Линейной комбинацией векторов называют выражение:

,

где - произвольные действительные числа.

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют действительные числа , такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство:

. (*)

В противном случае, т.е. если линейная комбинация (*) обращается в ноль только при всех , то система векторов называется линейно независимой.

Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации остальных.

Геометрические критерии линейной зависимости

Система двух ненулевых векторов линейно зависима тогда, и только тогда, когда векторы коллинеарны.

Система трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Базис и координаты

Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.

Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно.

Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно:

.

При сложении двух векторов и их координаты (относительно любого базиса) складываются. При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.

Системой координат в пространстве называют совокупность базиса и некоторой точки, называемой началом координат.

Вектор , идущий из начала координат в точку , называется радиус-вектором точки .

Координатами точки называются координаты вектора .

Таким образом, координаты радиус-вектора и координаты точки совпадают.

Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат

Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.

Обозначения: ,

Т акой базис называется ортонормированным (ОНБ). Векторы называются базисными ортами. Зафиксируем точку О – начало координат и отложим от нее векторы . Полученная система координат называется прямоугольной декартовой. Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора:

Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям базисных векторов, называются координатными осями: – порождает ; – порождает ; – порождает . Координаты точки М (вектора ) в декартовой системе координат по осям , , называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.

Декартовы прямоугольные координаты вектора равны проекциям этого вектора на оси , , соответственно; другими словами,

, , .

Здесь – углы, которые составляет вектор с координатными осями , , соответственно, при этом , , называются направляющими косинусами вектора .

Вектор представляет собой вектор единичной длины данного направления, или орт данного направления. Для направляющих косинусов справедливо соотношение:

.

П роекция вектора на ось l - величина А`В` равна

, где - орт оси l.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: .

Если , , то .

Алгебраические и геометрические свойства:

1°. Переместительное свойство: .

2°. Сочетательное свойство:

3°. Распределительное свойство: , .

4°. , если , и , если .

5°. ; .

6°. .

7°. = , .

8°. : - условие перпендикулярности.

9°. , - длина вектора.

10°. , , – расстояние между двумя точками.

11°. Направляющие косинусы вектора: , , ; cos² α + cos² β + cos² = 1

ПП 4.1. Векторы, базисы, координаты
№ п/п	Задание	Ответ
ПП 4 .№1	З адан тетраэдр . В базисе из ребер , и найдите координаты вектора , где – точка пересечения медиан основания . РЕШЕНИЕ: Воспользуемся правилом треугольника: . Здесь – середина ребра ; точка находится на расстоянии длины медианы считая от вершины . Но . Подставим в : , то есть = .	=

ПП 4 .№2

В пространстве заданы треугольники и ; и – точки пересечения медиан этих треугольников соответственно. Разложите вектор по базису векторов , , . РЕШЕНИЕ: Пусть – середина стороны , – середина стороны . . Найдем: ; ; ; ; ; ; . После последовательных подстановок то есть = .

=

ПП 4 .№3	В треугольнике разложите биссектрису по базису векторов и . РЕШЕНИЕ: Пусть , , лежит на стороне . , где . Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: и тем, что . Отсюда следует, что . Итак,
ПП 4. №4	В треугольнике через обозначена точка пересечения медиан. Найдите сумму векторов . РЕШЕНИЕ: О бозначим , , . Из рисунка по свойству медиан получаем, что .

ПП 4 .№5

Д окажите, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении считая от вершины. РЕШЕНИЕ: Пусть – середина стороны , – середина стороны . Отложим на медиане расстояние от вершины и поставим точку . Тогда . Отложим от вершины по медиане расстояние и поставим точку . Найдем координаты вектора в базисе векторов и . Но это координаты вектора . Таким образом, точка и точка совпадают, это точка пересечения медиан, и она делит медианы и в отношении считая от вершины.

ПП 4 .№6

Т очки и – середины сторон и четырехугольника . Докажите, что . Выведите теорему о средней линии трапеции. РЕШЕНИЕ: , , , , . Если - трапеция, стороны и параллельны, тогда - свойство средней линии трапеции.

ПП 4.2. Переход к новому базису. Преобразование координат
ПП 4. №7	В пространстве векторы , заданы своими координатами в базисе . Докажите, что система векторов представляет собой базис в пространстве , и найдите координаты вектора в этом базисе, если , , , . РЕШЕНИЕ: Проверим, что - базис в пространстве : значит - базис. Найдем координаты вектора в базисе двумя способами. 1-й способ: . Подставим выражения для , , . Тогда . Но . 2-й способ: Запишем матрицу преобразования координат базиса к базису : , Найдем обратную матрицу: , Координаты вектора в новом базисе обозначим .	или

	ПП 4.3. Построение ортогонального базиса
ПП 4 .№8	Применяя последовательный процесс ортогонализации Шмидта к системе векторов пространства , постройте ортогональный базис, если . РЕШЕНИЕ: Процесс ортогонализации состоит в следующем. Из неортогонального базиса строят новый, ортогональный базис по формулам: Проделаем эту процедуру. . Осталось нормировать базис . В итоге получаем: , , .	, , .

ПП 4.4. Декартов прямоугольный базис
Направляющие косинусы и координаты
ПП 4 .№9	В трапеции с основаниями и известны векторы , , . Найдите сумму координат вектора , где и - середины сторон и . РЕШЕНИЕ: , . .	3
ПП 4 .№10	Даны точки , , . Найдите сумму координат точки , если РЕШЕНИЕ: , , . . Сумма координат равна (6).	-6
ПП 4 .№11	Дан модуль вектора и углы , и , которые он составляет с координатными осями , и соответственно. Вычислите проекции вектора на координатные оси. РЕШЕНИЕ: ; ; . =
ПП 4. №12	Даны векторы и . Вычислите направляющие косинусы вектора . РЕШЕНИЕ: . . ; ; .	, ,
ПП 4 .№13	Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: , , ? РЕШЕНИЕ: Для направляющих косинусов выполняется равенство . Проверим его справедливость. равенство выполняется.	да
ПП 4. №14	Д аны точки , , . Найдите длину медианы треугольника . РЕШЕНИЕ: Координаты точки (середины ) , , .	7
ПП 4. №15	Коллинеарны ли векторы и , построенные на векторах и , если , , , . РЕШЕНИЕ: Пропорциональность компонент не выполняется, векторы неколлинеарны.	нет

ПП 4.5. Скалярное произведение векторов
ПП 4. №16	Найдите а) и б) , если , , . РЕШЕНИЕ: а) .	а) , б)
ПП 4 . №17	Найдите , если , . РЕШЕНИЕ:
ПП 4. №18	Найдите косинус угла между векторами и , если , , . РЕШЕНИЕ:	-1
ПП 4. №19	Вычислите синус угла, образованного векторами и . РЕШЕНИЕ: Найдем косинус нужного угла: Так как угол между векторами ,	.

ПП 4. №20		Для вектора найдите ортогональную составляющую базисного орта и ортогональную составляющую в плоскости векторов и . РЕШЕНИЕ: Найдем проекцию вектора на орт : Таким образом, ортогональная составляющая вектора вдоль равна , так как и , она ортогональна плоскости векторов и . в плоскости и лежит составляющая .
ПП 4. №21	Покажите, что сумма квадратов медиан треугольника относится к сумме квадратов его сторон, как 3:4. РЕШЕНИЕ: П усть , . Тогда . Находим медианы треугольника: , . Осталось найти требуемое отношение:

ПП 4. №22	П окажите, что четырехугольник ромб, если , , , . Найдите угол при вершине ромба. РЕШЕНИЕ: ; ; ; ; ; ; . и – ромб. , .
ПП 4. №23	Докажите, что вектор перпендикулярен вектору . РЕШЕНИЕ: .
ПП 4. №24	Д окажите: а) теорему косинусов; б) теорему Пифагора. Доказательство: а) Рассмотрим треугольник , построенный на векторах и . Пусть третья сторона . Тогда , Теорема косинусов доказана. б) При получаем теорему Пифагора.
ПП 4. №25	Д окажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. РЕШЕНИЕ: Пусть и – стороны ромба. и - его диагонали. так как для ромба , и диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

17