Пп 9. Предел Функции основные определения и формулы

О.1. Определение предела по Гейне (на языке последовательностей). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности такой, что , выполняется равенство , которое обозначают: .

О.2. Определение предела по Коши (на языке - ). Число называется пределом функции в точке , если .

Понятие	Обозначение	Определение
Предел функции в точке
- бесконечно большая функция в точке
Предел функции при
- бесконечно большая функция при
Односторон-ние пределы справа и слева
- бесконечно большая функция справа и слева от точки

Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

Функция называется бесконечно малой в точке , если .

Функция называется бесконечно большой в точке , если . Записывается это как .

Свойства:

. Если , то .

. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

. Если , то

.Если - бесконечно малая функция при и при , то - бесконечно большая функция при . Если - бесконечно большая, то - бесконечно малая.

6˚. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.

7˚. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

Свойства функций, имеющих предел

	где
	где

Если и , то

где .

Если функции и имеют одну область определения и , то

Теорема о пределе промежуточной функции.

Если 1) , 2) ,

то .

Замечательные пределы

Первый замечательный предел : .

Второй замечательный предел : ; .

Сравнение бесконечно малых функций

Для бесконечно малых выполняется:

1) ₁(x) и ₂(x) одного порядка, если , A < ;

2) ₁(x)  ₂(x) - эквивалентные, если ;

3) ₁(x) = о (₂(x)) - ₁(x) бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с ₂(x), если ;

4) если ₁(x)  ₂(x), ₃(x)  ₄(x), то

Эквивалентные бесконечно малые при x  0:

 ,  ,  ,  ,

 .