Пп 6. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая линия в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости. Формулы аналитической геометрии в пространстве
6.1. Плоскость в пространстве
- общее уравнение плоскости в декартовой системе координат ;
- уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной вектору ;
- уравнение плоскости, отсекающей на осях координат ox, oy, oz отрезки a, b и c соответственно;
- нормальное уравнение плоскости, где р – расстояние от начала координат до плоскости, а единичный вектор, перпендикулярный плоскости, имеет координаты ;
- нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D);
- расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением;
- уравнение плоскости, проходящей через три точки (i=1,2,3), не лежащие на одной прямой;
- угол между плоскостями ;
- необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей
- необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей ;
- расстояние между двумя параллельными плоскостями .
6.2. Прямая в пространстве
- общее уравнение прямой как линии пересечения двух параллельных плоскостей;
- канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;
- уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости;
- параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;
- соотношения между компонентами направляющего вектора прямой и координатами общего уравнения прямой;
- канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (i=1,2);
- косинус угла между прямыми (i=1,2), проходящими через точку ;
- условие параллельности двух прямых (i=1,2);
- условие перпендикулярности двух прямых (i=1,2);
- прямые: и
лежат в одной плоскости
6.3. Прямая и плоскость в пространстве
уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общим уравнением
- координаты точки пересечения прямой и плоскости ;
- синус угла между прямой и плоскостью ;
- условие перпендикулярности прямой и плоскости ;
- условие параллельности прямой и плоскости .
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Плоскость
ПП 6.№1. Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через точку :
6.1.1) параллельно плоскости ;
6.1.2) перпендикулярно прямой L;
6.1.3) перпендикулярно двум плоскостям .
Решение:
6 .1.1) Плоскость проходит через точку параллельно плоскости , заданной уравнением . В качестве нормального вектора искомой плоскости Р можно выбрать нормальный вектор плоскости . Плоскость задана общим уравнением , в котором коэффициенты А, В, С являются компонентами нормального
вектора, значит, и уравнение плоскости Р может быть записано в виде уравнения плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором :
. После приведения к виду общего уравнения плоскости это уравнение принимает вид: .
ОТВЕТ: .
6.1.2) Плоскость проходит через точку перпендикулярно
прямой L: . В качестве нормального вектора искомой плоскости выбираем направляющий вектор прямой L, имеющий компоненты из канонических уравнений данной прямой L.
Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид:
.
ОТВЕТ: .
6.1.3) Искомая плоскость проходит через точку и
п ерпендикулярна двум плоскостям:
Нормальный вектор искомой плоскости
должен быть перпендикулярен нормальным
векторам плоскостей и . В качестве
такого вектора можно выбрать их векторное
произведение:
Уравнение искомой плоскости имеет вид:
.
ОТВЕТ: .
ПП 6.№2. Составьте уравнение плоскости Р , проходящей через три
данные точки:
Решение: Если M(x,y,z) - текущая координата плоскости, то уравнение плоскости получается как следствие компланарности векторов , то есть равенства нулю их смешанного произведения:
ОТВЕТ:
ПП 6.№3.
6.3.1) Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.
6.3.2) Составьте уравнение плоскости Р, параллельной вектору и отсекающей на координатных осях отрезки .
6.3.3) Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.
Решение:
6.3.1) Приведем уравнение плоскости к виду уравнения
плоскости "в отрезках":
отсекаемые плоскостью на осях ox, oy, oz соответственно.
ОТВЕТ: -4, 3, 0,5.
6.3.2) Уравнение искомой плоскости "в отрезках" имеет вид: Приведение его к общему виду дает плоскость с нормальным вектором Из условия перпендикулярности векторов : , и уравнение плоскости принимает вид:
.
ОТВЕТ: .
6.3.3) Уравнение плоскости, отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки а, имеет вид:
Так как плоскость проходит через точку , и уравнение плоскости принимает вид: .
ОТВЕТ: .
ПП 6.№4. Найдите угол между плоскостями и .
Решение:
Один из двух смежных углов (острый) между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и находится из их скалярного произведения:
ОТВЕТ:
ПП 6.№5. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно к плоскости
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку М с нормальным вектором , условие прохождения этой плоскости через точку N и условие перпендикулярности этой плоскости и заданной плоскости с нормальным вектором дают однородную систему уравнений для определения А, В, С:
Условие существования решения системы приводит к уравнению искомой плоскости:
ОТВЕТ:
ПП 6.№6. Приведите уравнение плоскости к нормальному виду и объясните смысл коэффициентов при неизвестных.
Решение: В нормальном уравнении плоскости
коэффициенты представляют собой направляющие косинусы единичного вектора нормали к этой плоскости, которая проходит через начало координат и отстоит от него на расстоянии р. Общее уравнение плоскости с нормальным вектором приводится к нормальному виду путем умножения на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.
В данной задаче и уравнение плоскости принимает вид:
ОТВЕТ:
ПП 6.№7. Найдите расстояние от заданной точки до плоскости .
Решение: Расстояние от точки до плоскости с нормальным вектором равняется
.
Здесь , то есть начало координат и точка находятся по одну сторону от плоскости. Искомое расстояние равно
ОТВЕТ: 3.
ПП 6.№8. Составьте уравнение плоскости, которая делит пополам двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями: и
Решение: Уравнение плоскостей найдем из условия равенства отклонений точки этой плоскости от двух данных плоскостей и :
что дает
1) :
2) :
О ТВЕТ: ,
Прямая
ПП 6.№9. Прямая L задана общими уравнениями Напишите канонические уравнения этой прямой и её уравнения в виде проекций на координатные плоскости.
Решение:
Решим задачу двумя способами.
1-й способ.
Найдем произвольную точку, лежащую на прямой, предположив, что
x = 0, тогда из системы, задающей прямую двумя уравнениями плоскости, найдем, что y = 2 и z = 2.
Точка . В качестве направляющего вектора прямой можно выбрать вектор , так как он будет перпендикулярен как , так и : и канонические уравнения прямой принимают вид: и могут быть записаны в виде проекций на координатные плоскости следующим образом:
2-й способ.
Из общих уравнений прямой L , исключая x и y в системе, получим уравнения прямой в проекциях на плоскости xoz и yoz:
Из этих уравнений и канонические уравнения прямой можно записать в виде
ОТВЕТ: ; ;
ПП 6.№10.
6.10.1) Докажите параллельность прямых
6.10.2) Определите угол между прямыми
Решение:
6.10.1) Направляющий вектор прямой имеет вид: . Направляющий вектор прямой может быть выбран в виде векторного произведения нормальных векторов двух пересекающихся плоскостей
Прямые и параллельны, так как компоненты их направляющих векторов пропорциональны: .
6.10.2) Угол между направляющими векторами прямых и определяется из значения их скалярного произведения:
ОТВЕТ:
ПП 6.№11. Найдите уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей ось ox под прямым углом.
Решение: Уравнение искомой прямой можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через две точки и :
. По условию
Вторую точку находим из условия, что прямая перпендикулярна оси ox и пересекает ее, то есть и уравнение искомой прямой принимает вид:
ОТВЕТ:
ПП 6.№12.
6.12.1) Составьте параметрические уравнения прямой L, проходящей через точку параллельно прямой
6.12.2) Напишите канонические уравнения прямой L, проходящей через точку параллельно прямой
Решение:
6.12.1) В качестве направляющего вектора искомой прямой L можно взять направляющий вектор прямой : , так как прямые L и параллельны по условию; канонические уравнения прямой могут быть приведены к параметрическому виду, если приравнять входящие в них отношения значению параметра t:
ОТВЕТ:
6.12.2) Прямая L, параллельная прямой , будет перпендикулярна нормальным векторам плоскостей, образующих прямую , то есть
и канонические уравнения прямой L принимают вид:
ОТВЕТ:
ПП 6.№13. Определите, при каком значении прямые пересекаются.
Решение:
По условию прямая проходит через точку , а прямая - через точку .
Условием пересечения двух прямых будет условие компланарности векторов , которое можно записать в виде
то есть откуда
ОТВЕТ: 3.
ПП 6.№14. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку , пересекающей прямую и перпендикулярную прямой
Решение:
Уравнение искомой прямой . Она лежит в одной плоскости с прямой , проходящей через точку , то есть и перпендикулярна прямой с направляющим вектором . Условие перпендикулярности прямых заключается в равенстве Решим систему для определения Выражая через найдем при таким образом, и уравнение искомой прямой L имеет вид:
ОТВЕТ: