Ряд эквивалентных бесконечно малых при X  0:

x  sin x  arcsin x  tg x  arctg x   e^x – 1  ln(1 + x).

Некоторые пределы:

пп 9. Теоретические Упражнения
ТУ ПП 9. №1.	Докажите, что предел не существует. РЕШЕНИЕ: В определении Гейне предполагается, что {xn} – любая последовательность значений аргумента. Выберем две разных бесконечно больших последовательности: xn = n и xn = /2 + 2n, где n N, для которых и Поскольку а , то не существует.
ТУ ПП 9. №2.	Всегда ли сумма бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией? РЕШЕНИЕ: Пусть , - бесконечно большие при . 1) Если , , то не является бесконечно большой функцией. 2) Если , , то является бесконечно большой функцией.	нет

ТУ ПП 9. №3.

Бесконечно большая при функция, является неограниченной в окрестности точки . Выполняется ли обратное утверждение? РЕШЕНИЕ: Не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Рассмотрим две неограниченных функции и . 1) - бесконечно большая при , так как для любого числа можно указать окрестность точки , в каждой точке которой 2 ) - является неограниченной при , но бесконечно большой не является, так как для любого числа в каждой окрестности точки можно указать точку, в которой , но в этой же окрестности найдутся точки, не удовлетворяющие этому условию, для которых, например, .

нет

ТУ ПП 9. №4.	Докажите, что если и при , то . РЕШЕНИЕ: , , .
ТУ ПП 9. №5.	Используя результат задачи 5.364, вычислить предел . РЕШЕНИЕ: Используя ряд эквивалентностей при , можно записать: , ; .
ТУ ПП 9. №6.	С помощью определения предела функции на языке последовательностей докажите второй замечательный предел . Покажите, что функция y = (1 + 1/x)^x при x   имеет предел, равный числу e. РЕШЕНИЕ: Пусть x  +. Тогда можно применить определение Гейне и рассмотреть последовательность xn = n: Пусть x  -. Тогда сделаем замену переменной t = -(x + 1) и, выражая x = -(t + 1), установим, что из x  - следует t  +.
ТУ ПП 9. №7.	Докажите соотношение: . РЕШЕНИЕ: .
ТУ ПП 9. №8.	Докажите соотношение: . РЕШЕНИЕ: Заменим переменную: (см. предыдущее упр.) .
ТУ ПП 9. №9.	Докажите соотношение: . РЕШЕНИЕ: Используем формулу бинома Ньютона для нецелого показателя степени . .
ТУ ПП 9. №10.	Докажите соотношение: . РЕШЕНИЕ: .
ТУ ПП 9. №11.	Определите порядок малости относительно при . РЕШЕНИЕ: , , откуда , т.е., порядок малости относительно при равен .
ТУ ПП 9. №12.	Докажите, что имеет второй порядок малости относительно при , если , . РЕШЕНИЕ: , , при .

пп 9. 2. ПреДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
ТУ ПП 9. №13.	Докажите, что (найдите ). РЕШЕНИЕ: По определению предела функции: . 1). Возьмем произвольное 2). Положим 3). Возьмем . Тогда если то , что и требовалось доказать.
ТУ ПП 9. №13.	Пользуясь определением предела функции Коши, докажите (найдите ), что РЕШЕНИЕ: Поскольку по определению Коши из неравенства x - 1 <  следует f(x) – (-5) < , решим неравенство (3x – 8) + 5 < : 3x – 8 + 5 = 3x - 3 = 3x - 1 < , x - 1 < /3. Возьмем () = /3, тогда x - 1 <  = /3   (3x – 8) – (-5) <  , что и означает, что	 = /3

п/п	Задание		Ответ
ПП 9. №1.		Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Значение функции определено в точке x = 2. Вычислим значение функции		9
ПП 9. №2.		Вычислите предел . РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №3.		Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x, т.е. на x^3:

ПП 9. №4.

Вычислите предел . РЕШЕНИЕ: = Так как число 3 является корнем числителя и знаменателя, поделим числитель и знаменатель на найдем корни квадратных трехчленов

ПП 9. №5.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ: Пусть . Тогда .
ПП 9. №6.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Домножим числитель и знаменатель на выражение , сопряженное числителю, и учтем, что (a – b)(a + b) = a^2 – b^2, тогда: .
ПП 9. №7.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Домножим и поделим на сопряженную величину:	0

ПП 9. №8.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Домножим числитель и знаменатель на величину, сопряженную числителю:	0
ПП 9. №9.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ:	2
ПП 9. №10.	Вычислите предел . Применим первый замечательный предел:	1
ПП 9. №11.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ:	4
ПП 9. №12.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ:	1
ПП 9. №13.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №14.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ:

ПП 9. №15.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №16.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ: Применим второй замечательный предел:
ПП 9. №17.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: .	1

ПП 9. №18.	Вычислите предел . РЕШЕНИЕ:
ПП 9. №19.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: .

ПП 9. №20.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Выясним тип неопределенности. Так как , а , степенно-показательная функция порождает неопределенность (1^). Для того, чтобы применить второй замечательный предел, преобразуем основание к виду , тогда	6
ПП 9. №21.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: При x  0 sinx  x.	е
ПП 9. №22.	Вычислите предел РЕШЕНИЕ: При x  0 sinx  x, sin4x  4x.

ПП 9. №23.

Вычислите предел РЕШЕНИЕ: Поскольку x  1, сделаем замену переменной t = x – 1, t  0 и x = t + 1, тогда cosx = cos (t + 1) = cos (t + ) = - cost, tg^2x = tg^2 (t + 1) = tg^2(t + ) = tg^2t.