Київський національний університет імені Тараса Шевченка

механіко-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ: Функції однієї змінної (ІІ семестр)

Робоча навчальна програма

для студентів спеціальності математика, статистика, механіка

Затверджено

на засіданні кафедри

Протокол № _______

від «___» ____ 20__ р.

Зав. кафедри

_____________ Шевчук І.О.

Декан факультету

____________ Городній М.Ф.

Затверджено

на засіданні вченої ради

мех.-мат. факультету

протокол №

від «__» ______20__р.

Методичні рекомендації по вивченню дисципліни.

Дисципліна “математичний аналіз” є базовою нормативною дисципліною для спеціальності “математика”, що читається в І, ІІ, ІІІ та ІV семестрах в обсязі 16 кркдитів (за Європейською Кредитно-Трансферною системою ECTS), і розрахована на 1056 годин занять. З них 280 годин лекцій, 280 годин лабораторних і 496 годин самостійної роботи. (І семестр: лекції – 72, лабораторні-72, самостійна робота – 128; ІІ семестр: лекції – 68, лабораторні – 68, самостійна робота – 120, ІІІ семестр: лекції – 72, лабораторні – 72, самостійна робота – 128; ІV семестр: лекції – 68, лабораторні – 68, самостійна робота – 120). Закінчується іспитами в І, ІІ, ІІІ та ІV семестрах.

Мета і завдання навчальної дисципліни “математичний аналіз” оволодіти класичними методами математичного аналізу, теоретичними положеннями та основними застосуваннями математичного аналізу в різноманітних задачах математики і механіки, їх використання в подальших курсах з математики та механіки, сприянню розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.

Предмет навчальної дисципліни “математичний аналіз”: множини, функції, дійсні числа, послідовності, границі послідовностей, границя функції в точці, неперервні функції, похідна, диференційовність функції, диференціал, похідні і диференціали вищих порядків, локальні екстремуми, формула Тейлора, первісна, невизначений інтеграл, інтеграл Рімана, інтеграл як функція верхньої границі, числові ряди, абсолютна і умовна збіжність числового ряду, нескінченні добутки, функціональні послідовності, рівномірна збіжність функціональної послідовності, функціональні ряди, область збіжності функціонального ряду, рівномірна збіжність функціонального ряду, степеневі ряди, ряд Тейлора, функції з обмеженою варіацією, інтеграл Стілтьєса, метричні простори, збіжність в метричних просторах, відкриті та замкнені множини, повні метричні простори, сепарабельні метричні простори, компактні множини, принцип стискаючих відображень, границя функції багатьох змінних в точці, повторні границі, неперервність функції багатьох змінних, похідна за напрямком, частинні похідні, градієнт, диференційовність функцій багатьох змінних, похідні, частинні похідні та диференціали старших порядків функції багатьох змінних, формула Тейлора, локальні екстремуми функцій багатьох змінних, векторні функції, неперервність, диференційовність, матриця Якобі та якобіан, невласні інтеграли по необмеженому проміжку і від необмежених функцій, інтеграл Рімана, що залежить від параметру, невласні інтеграли, що залежать від параметру, рівномірна збіжність невласних інтегралів, що залежать від параметру, Ейлерові інтеграли, кратні інтеграли по брусу, множини вимірні за Жорданом, міра Жордана, Ейлерові інтеграли, кратні інтеграли по брусу, множини вимірні за Жорданом, міра Жордана, кратні інтеграли по вимірним множинам, формула заміни змінних, полярні, циліндричні та сферичні координати, криволінійні та поверхневі інтеграли другого роду від диференціальних форм по многовидам, формули Гріна, Остроградського-Гауса та Стокса, міра на многовидах. криволінійні та поверхневі інтеграли першого типу, ряди Фур’є, формула Фур’є, перетворення Фур’є.

Вимоги до знань та вмінь:

Знати: основні поняття математичного аналізу, зокрема: множини і дії над ними, правила де Моргана, декартів добуток множин, загальне поняття відображення або функції, поняття образу та прообразу, поняття сюр’єкції, ін’єкції та бієкції, оберненої функції, суперпозиції функцій, графіка функції, рівнопотужних множин, зліченої множини, властивості злічених множин, приклад незліченої множини, задачу про вимір довжини відрізка, означення дійсного числа, означення ірраціонального числа, порівняння дійсних чисел, числова пряма і координати точок, означення точної верхньої і точної нижньої межі числової множини, теорему про характеризацію точних меж, теорему про існування точних меж, означення арифметичних операцій над дійсними числами, означення коряня натуральної степені із додатнього числа, теорему про вкладені відрізки, нерівність Коші, нерівність Коші між середнім арифметичним і середнім геометричним, означення границі послідовності, теорему про єдиність границі, теорему про обмеженість збіжної послідовності, теорему про три послідовності, теорему про арифметичні операції над збіжними послідовностіми, теорему Штольца, поняття монотонної послідовності і теорему про існування границі монотонної послідовності, число е, підпослідовності, часткові границі послідовності, теорему про характеризацію часткової границі, теорему про існування монотонної підпослідовності, теорему Больцано-Вейєрштраса, означення верхньої і нижньої границі послідовності та теорему про їх характеризацію, означення фундаментальної послідовності та критерій Коші, означення границі функції в точці за Коші і за Гейне, тероему про рівносильність означень Коші і Гейне, односторонні границі, теорему про існування границімонотонної функції в точці, критерій Коші існування границі функції в точці, означення відношень підпорядкованості, нехтування і еквівалентності та їх властивості, означення порядка однієї функції відносно другої, означення шкали порівнянь та головні частини функції відносно шкали порівнянь,означення неперервної функції в точці і на множині, теореми про арифметичні операції над неперервними функціями, про неперервність суперпозиції, про існування і неперервність оберненої функції, першу і другу теореми Вейєрштраса та теореми про обернення неперервної функції в нуль і теорему Коші про проміжне значення, рівномірної неперервності і теорему Кантора, розриви функції в точці і їх класифікацію, теорему про розриви монотонної функції, теорему Вейєрштраса про рівномірне наближення неперервної функції многочленами, означення похідної, фізичну та геометричну інтерпретацію похідної, правила обчислення похідних, похідну від складеної та оберненої функції, поняття односторонніх похідних, теореми Ферма, Ролля, Лагранжа і Коші, теореми про монотонність і строгу монотонність на інтервалі, означення диференційовної функції в точці, критерій диференційовності, означення похідних вищих порядків, формулу Лейбніца, означення диференціалів вищих порядків, формулу Тейлора із залишковими членами в формі Піано і Лагранжа, правила Лопіталя, означення опуклої вниз на інтервалі функції, критерій опуклості в термінах похідної і похідної другого порядку, нерівність Ієнсена, точки локального екстремума функції, необхідні умови локального екстремума, достатні умови локального екстремума в термінах похідної і в термінах похідних вищих порядків, означення точок перегину і методи їх знаходження, означення асимптот графіка функції, поняття первісної та узагальненої первісної, невизначений інтеграл, таблицю невизначених інтегралів, теореми про інтегрування за допомою підстановки і за частинами, розклад раціональної функції на елементарні дроби за методом невизначених коефіцієнтів, інтегрування елементарних дробів, інтегрування раціональної функції від Sin і Cos, універсальна тригонометрична підстановка, інтегрування біноміальних диференціалів, підстановки Ейлера, означення верхньої та нижньої суми Дарбу і інтегральної суми,нижній і верхній інтеграл, функція інтегрована за Ріманом на відрізку, властивості сум Дарбу, критерій інтегровності, теореми про інтегровність монотонної неперервної та неперервної і обмеженої за винятком скінченного числа точок функцій, означення границі інтегральних сум, теорема Дарбу, лінійність і адитивність інтегралу Рімана, теорему про середнє значення, означення інтегралу із змінною верхньою границею, теореми про неперервність і диференційовність, теорему про існування первісної, формулу Ньютона-Лейбніца, теореми про заміну змінноїі і інтегрування за частинами у визначеному інтегралі, формулу Тейлора із залишковим членом у інтегральній формі,означення поточкової та рівномірної збіжності послідовності функцій, теорема про граничний перехід під знаком інтегралу Рімана, означення площі криволінійної трапеції і формула для її обчислення, означення довжини дуги кривої і формули для її обчислення, означення об’єму тіла обертання і формула для його обчислення, означення площі поверхні тіла обертання і формули для його обчислення, означення числового ряду, необхідні умови збіжності, геометричний ряд, гармонічний ряд, узагальнений гармонічний ряд, елементарні властивості числових рядів, критерій Коші збіжності числового ряду, критерій збіжності для числових рядів з невід’ємними членами, перша, друга й третя ознаки порівняння для рядів з невід’ємними членами, ознаки д’Аламбера, Коші, логарифмічна, Раабе і інтегральна Маклорена-Коші збіжності рядів з невід’ємними членами, ряд Лейбніца, означення абсолютної і умовної збіжності ряду, теореми про абсолютно і умовно збіжні ряди, ознака Лейбніца, Ознаки Діріхле і Абеля, теореми про групування та перестановку членів ряду, добуток рядів за Коші, нескінченні добутки, необхідні умови збіжності, зв’язок з рядами, додатні умови збіжності, поняття поточкової та рівномірної збіжності на множині функціональної послідовності, критерій Коші рівномірної збіжності, означення області збіжності функціонального ряду, означення області збіжності функціонального ряду на множині, ознаки Вейєрштраса, Діріхле та Абеля рівномірної збіжності функціональних рядів, теореми про неперервність суми, почленне інтегрування, граничний перехід і почленне диференціювання функціонального ряду, означення степеневого ряду, теорема Коші-Адамара, радіус збіжності і інтервал збіжності, теорему про рівномірну збіжність степеневого ряду, теореми про властивості сум степеневих рядів, ряд Тейлора, степеневі ряди в комплексній площині, теорема Коші-Адамара, радіус збіжності і круг збіжності,

показникова функція в комплексній площині, теорему про рохзклад монотонної функції на неперервну монотонну функцію і функцію стрибків, означення функції обмеженої варіації, елементарні властивості функції обмеженої варіації, теорема Жордана, верхня і нижня суми Дарбу-Стилтьєса, верхній і нижній інтеграли Рімана-Стілтьєса, означення функції інтегровної відносно монотонно не спадної функції на відрізку за Ріманом-Стілтьєсом, властивості інтеграла Стілтьєса, інтеграл Стілтьєса відносно функції обмеженої варіації, обчислення інтегралу Стілтьєса, теорема Хелі, означення метричного простору, приклади метричних просторів, властивості метрики – нерівності трикутника і чотирикутника, декартовий добуток метричних просторів, збіжність послідовності елементів метричного простору, теорему про єдиність границі, збіжність в і , граничні точки множини і критерій граничної точки, відкриті і замкнені множини в метричному просторі та їх властивості, теореми про структуру відкритих множин на прямій і в просторі ,критерій замкненості, сепарабельні метричні простори, повні метричні простори, повноту просторів , , , теорему про вкладені замкнені кулі, ізометричні метричні простори, теорему про поповнення (формулювання), функції на метричних просторах, границю функції в точці, теорему про єдиність границі, неперервність функції в точці і на множині, теорему про неперервність векторної функції, теорему про неперервність складної функції, теорему про характеризацію неперервності, рівномірно неперервні на множиніфункції, означення компактної множини, обмеженість і замкненість компактної множини, узагальнення теореми Больцано-Вейєрштраса, критерій компактності Хаусдорфа, компактні множини в і в , теореми про компактність образу при неперервному відображенні, узагальнення теорем Вейєрштраса, теорему про неперервність оберненого відображення, теорему Кантора, теорему про зв’язність образу при неперервному відображенні, теорему Банаха, застосування теореми Банаха до доведення існування і єдиності розв’язку алгебраїчних рівнянь, систем лінійних рівнянь, диференціальних і інтегральних рівнянь фредгольма другого роду та теореми про неявну функцію, теорему Стоуна-Вейєрштраса (формулювання), похідну за напрямком, частинні похідні, теорему про обчислення похідної за напрямком, градієнт, означення диференційовної функції декількох змінних, властивості диференційовних функцій, достатні умови диференційовності, першу теорему про диференційовність складної функції, похідну вищого порядку за напрямками, частинні похідні вищих порядків, диференціали вищих порядків, формула Тейлора для функцій декількох змінних, локальні екстремуми функцій декількох змінних, необхідні умови локального екстремума, достатні умови локального екстремума, достатні умови локального екстремума для функцій двох змінних, означення диференційовності векторної функції декількох змінних, матриця Якобі, якобіан, правило диференціювання складного відображення, наслідок для якобіанів, лема про гомеоморфізм, теореми про існування і властивості неявної та оберненої функції, означення локального відносного екстремума, достатні умови локального відносного екстремума, екстремуми квадратичної форми на сфері, означення невласного інтегралу по нескінченному проміжку, властивості невласних інтегралів, критерій Коші збіжності невласних інтегралів, критерій збіжності невласних інтегралів від невід’ємної функції, абсолютно і умовно збіжні невласні інтеграли, ознаки Діріхле і Абеля, невласні інтеграли від необмежених функцій, інтеграл Рімана що залежить від параметру, теореми про неперервність, інтегровність і диференційовність інтеграла по параметру, рівномірна збіжність сімейства функцій, теорему про граничний перехід під знаком інтегралу що залежить від параметру, означення рівномірної збіжності невласного інтегралу що залежить від параметру, ознаки Вейєрштраса, Діріхле та Абеля рівномірної збіжності, теореми про неперервність,граничний перехід, інтегровність, диференційовність невласного інтегралу що залежить від параметру,інтеграл Діріхле, інтеграли Фрулані, теорему про інтегрування по нескінченному проміжку, інтеграл Ейлера-Пуассона, невласні інтеграли що залежать від параметру від необмежених функцій, Г-функція і її найпростіші властивості, графік Г-функції, основна теорема теорії Г-функції, формули Ейлера, Вейєрштраса, поєднання Лежандра для Г-функції, функціональне рівняння Ейлера для Г-функції, розклад сінуса в нескінченний добуток, В-функція, зв’язок між В та Г функціями, формула Стірлінга (формулювання), бруси в , діаметр і міра бруса, розбиття і підрозбиття бруса, суми Дарбу і їх властивості, інтегральні суми, верхній і нижній інтеграли для обмеженої функції, функція інтегровна по брусу, кратний інтеграл від функції по брусу, критерій інтегровності, інтегровність неперервної функції по брусу, найпростіші властивості кратних інтегралів по брусу, формула зведення кратного інтеграла до послідовних однократних, внутрішня і зовнішня міра обмеженої множини, вимірні за Жорданом множини і міра Жордана, властивості вимірних множин і міра Жордана, циліндричні множини і теорема про їх вимірність, означення кратного інтегралу по вимірній множині, обчислення інтегралів по циліндричним множинам, відображення спеціального виду, вимірність образу при відображенні спеціального виду, формула заміни змінних при відображенні спеціального виду, лема про зведення загального відображення до суперпозицій відображень спеціального виду, формула заміни змінних, поняття невласних кратних інтегралів від необмежених функцій та по необмеженим множинам, допустимі координатні простори та орієнтація, диференціальні форми степені m в просторі , орієнтована крива, орієнтована поверхня, диференціальні форми степені p в пpосторі , канонічна форма диференціальної форми, інтеграл від диференціальної форми степеня по орієнтованому многовиду вимірності p в пpосторі , криволінійний інтеграл другого роду, криволінійний інтеграл другого роду як границя інтегральних сум, поверхневий інтеграл другого роду, зовнішній диференціал диференціальної форми, теорема Пуанкаре, орієнтація границі множини що відповідає орієнтації множини, формула Стокса в спеціальному випадку, загальна формула Стокса, формула Гріна, Остроградського-Гауса та Стокса, точні диференціальні форми, замкнені диференціальні форми, однозв’язні множини, теорему про незалежність криволінійного інтегралу другого роду від шляху інтегрування, означення міри на многовиді, довжина дуги кривої, площа поверхні, означення інтегралу першого роду від функції по многовиду, зв’язок інтегралів першого і другого роду по многовидам, криволінійний інтеграл першого роду, поверхневий інтеграл першого роду, клас , скалярний добуток, норма функції, середньоквадратична віддаль між функціями, ортонормовані послідовності, лінійно-незалежні послідовностіфункцій, коефіцієнти Фур’є і ряд Фур’є функції по ортонормованій послідовності, нерівність Бесселя, замкнені послідовності функцій, степенева послідовність замкнена на будь якому відрізку, тригонометрична послідовність замкнена на будь якому відрізку довжиною 2 , теорему про середньоквадратичну збіжність ряду Фур’є, клас , ряд Фур’є по тригонометричній послідовності функцій, лему Рімана, інтегральне зображення часткових сум ряду Фур’є, критерій збіжності ряду Фур’є в точці, ознаки Діні і Ліпшиця поточкової збіжності ряду Фур'є, теорему Фейєра, поняття тригометричного ряду, теорема про рівномірно збіжний на прямій тригонометричний ряд, теорема про рівномірну збіжність ряду Фур’є, теореми про почленне інтегрування та диференціювання ряду Фур’є, розклад в ряд Фур’є функцій з довільним періодом, поняття про інтеграл Фур’є, ознаки Діні і Ліпшиця збіжності інтеграла Фур’є в точці, поняття про перетворення Фур’є, формула обертання.

Вміти: виконувати операції над множинами, обчислювати границі послідовностей, обчислювати границю функцій в точках, досліджувати функції на неперервність, обчислювати похідну функції, досліджувати функції за допомогою похідних, обчислювати невизначені інтеграли, обчислювати інтеграли Рімана, застосовувати інтеграл Рімана до знаходження площ плоських фігур, довжин дуг кривих, об’ємів тіл обертання, площ поверхонь тіл обертання, знаходження координат центрів ваги, досліджувати на абсолютну та умовну збіжність числові ряди, досліджувати на рівномірну збіжність функціональні послідовності і функціональні ряди, досліджувати властивості сум функціональних рядів, розкладати функції в степеневі ряди, обчислювати інтеграли Стілтьєса, досліджувати функції задані на метричних просторах, застосовувати принцип стискуючих відображеньт до задач в різних галузях математики, знаходити границі функцій багатьох змінних в точках, знаходити поверхневі границі, обчислювати похідні за напрямком і частинні похідні, досліджувати функції багатьох змінних на локальні екстремуми та умовні екстремуми. Обчислювати матриці Якобі та якобіани відображень, застосовувати теореми про існування і властивості обернених і неявних відображень, досліджувати невласні інтеграли на збіжність, та невласні інтеграли що залежать від параметру на рівномірну збіжність, досліджувати функціональні властивості невласних інтегралів що залежать від параметру, обчислювати кратні інтеграли, використовувати формулу заміни змінних, обчислювати криволінійні і поверхневі інтеграли другого типу від диференціальних форм, користуватися формулами Гріна, Остроградського-Гауса та Стокса, розкладати функції в ряди Фур’є та досліджувати їх збіжність, користуватися інтегралом Фур’є та перетворенням Фур’є.

Місце в структурно-логічній схемі спеціальності.

Нормативно-навчальна дисципліна “математичний аналіз” є складовою циклу професійної підготтовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня “бакалавр”, і базовою для вивчення спеціальних дисциплін “аналітична геометрія”, “диференціальні рівняння”, “диференціальна геометрія”, “теорія функцій комплексної змінної”, “математична фізика”, “теорія міри”, “функціональний аналіз”, “теоретична механіка” та інших.

Тематичний план лекцій і лабораторних занять

№ теми	Назва теми І семестр	Кількість годин
		лекції	лабораторна робота		самостійна робота	контр. Модульна робота	інші форми контролю
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1
1.	Елементи теорії множин та дійсні числа.	16	18		32
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2
2.	Границя послідовності дійсних чисел.	14	12		32
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 3
3.	Границя функції в точці. Неперервні функції.	22	12		32
4.	Похідна та її застосування	20	30		32
Всього годин за І семестр:		72	72	128

Для отримання заліку треба набрати не менше 60 балів.

Всього за семестр – 100 балів.

При цьому, кількість балів відповідає оцінці:

1-34 – «незадовільно» з обов’язковим повторним вивченням дисципліни;

35-59 – «незадовільно» з можливістю повторного складання;

60-64 – «задовільно» («достатньо»)

65-74 – «задовільно» ;

75-84 – «добре»;

85-89 – «добре» («дуже добре»);

90-100 – «відмінно».

Шкала відповідності

За 100-бальною шкалою	Оцінка за національною шкалою
90-100	5	відмінно	зараховано
85-89	4	добре	зараховано
75-84	4	добре	зараховано
65-74	3	задовільно	зараховано
60-64	3	задовільно	зараховано
35-59	2	незадовільно	не зараховано
1-34	2	незадовільно	не зараховано

Система контролю знань.

Змістовний модуль 1-20 бал:

• виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на

заняттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5;

• письмова контрольна робота-15

Змістовний модуль 2-20 балів:

• виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на

заняттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5;

• колоквіум – 15;

Змістовний модуль 3-20 бали:

• виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на

заняттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5;

• письмова контрольна робота –15.

Іспит – 40 балів.

Всього за семестр – 100 балів.

Мінімальна кількість балів для зарахування модульної контрольної роботи – 9 балів, для колоквіуму – 6 балів.

Кожна незарахована контрольна робота може бути переписана один раз. Колоквіум можна перескласти, якщо він був пропущений з поважної причини.