час зустрічі. Тому за даними задачі не можна обчислити ні швид­кість першого пішохода, ні швидкість другого пішохода, бо дані у задачі значення відстані і часу не відповідають одне одному.

Продуктивність праці, час, робота

-*жах8,> .алголи «й7^»а:их>рагня£Іяі1 ^иммФ&оиг . ч^Н

Ці три величини складають основу багатьох задач, тому варто подати методику їх розкриття. Складність полягає в тому, що робо­та, а значить, і продуктивність, не мають таких чітко визначених одиниць вимірювання, як відстань і швидкість. Робота у кожному сюжеті задачі може мати різне найменування. Так, якщо в задачі сказано, що за три місяці завод випустив 4800 автомобілів, то це означає, що вся робота становить 4800 автомобілів. Якщо сказано, що за 5 хв косар викосив 30 м² лугу, це означає, що вся робота становить ЗО м². Якщо говориться, що за 10 хв кран наповнив бак місткістю 50 л, то вся робота дорівнює 50 л. Якщо сказано, що муляр за 3 дні змурував 12 м паркана, то вся робота - 12 м. Ми бачимо, що найменування роботи - автомобілі, квадратні метри, літри, метри.

Продуктивність праці - це частина всієї роботи, яку викону­ють за одиницю часу. Отже, у першій задачі продуктивність праці становить:

4800 '■ 3 = 1600 (автомобілів за місяць). У другій задачі продуктивність дорівнює:

ЗО : 5 = 6 (м² за хвилину). У третій задачі:

50 ■ 10 = 5 (л за хвилину). У четвертій задачі:

12 ■ 3 = 4 (м за день).

Неважко провести паралель між трійками величин продуктив­ність праці - час - робота і швидкість - час - відстань. Продук­тивність праці відповідає швидкості і має подібне найменування. Продуктивність можна ще назвати швидкістю виконання роботи. Усі ці роз'яснення учитель поступово подає учням під час опрацю­вання задач про роботу, які опрацьовують у 3-4 класах.

АЛГЕБРАЇЧНИЙ МАТЕРІАЛ

Учні початкових класів ознайомлюються з поняттями числовий вираз і вираз зі змінною, числова рівність і числова нерівність; рівняння та нерівність із змінною. Багато цих питань ми вже роз­глянули у попередніх розділах, тому тут подамо лише матеріал, про який раніше не йшлося.

Числові вирази, рівності й нерівності

Про числові й буквені вирази, числові рівності й нерівності досить докладно пояснюється у підручнику 3 класу Л. Кочиної, Н. Листопад.

Учні часто плутають вираз і рівність, тому завданням учителя є роз'яснити значення кожного терміна та самому правильно ко­ристуватися ними.

З поняттям вираз учнів ознайомлюють на найпростіших при­кладах.

1) 3 + 6; 2) 12 - 8; 3) 4 • 5; 4) 40 : 8 - це числові вирази, або просто вирази.

Вони мають свої назви: 1) сума; 2) різниця; 3) добуток; 4) част­ка.

Якщо виконати у виразі дії, то дістанемо число, яке називаєть­ся значенням виразу. В наведених виразах значеннями є числа: 1) 9; 2) 4; 3) 20; 4) 5. Ці числа також називаються: сума, різниця, добуток, частка.

Вирази можуть мати і більше, ніж одну дію, містити дужки.

Важливо, щоб діти навчилися правильно сприймати на слух вирази на 2-3 дії та самі їх називали. Це ази математичної мови, без якої неможливо далі успішно вивчати математику. Сприймаю­чи назву виразу на слух, учні вчаться бачити їхню структуру, що важливо для розвитку абстрактного мислення. Так, коли вчитель говорить: сума двох часток або добуток двох різниць, учень пови­нен собі уявляти такі структури:

^{□ =□+□=□; (□-□)•(□-□)}

Звичайно, до всього молодші школярі доходять поступово. Ще в 2 класі вони записують числові вирази на дві дії під диктування вчителя:

різницю чисел 21 і 3 збільшити у 6 разів; • ділене 63, дільник - різниця чисел 17 і 8, записати частку тощо.

Існують правила, за якими вирази можна змінювати (перетво­рювати) так, щоб значення виразу не змінилось. Такі перетворен­ня називаються тотожними. Наприклад:

1. тотожне перетворення на основі використання переставної властивості множенння: 4 • 9 = 9 • 4;

2. тотожне пертетворення на основі правила віднімання числа частинами: 15 - 7 = 15 - 5 - 2;

3. тотожне перетворення на основі правила порозрядного дода­вання: 48 + 36 = (40 + ЗО) + (8 + 6), або переставного і сполучного законів додавання.

Таких прикладів учитель може навести багато, бо учні у З класі знають вже багато правил обчислень.

У трьох наведених випадках ми отримали записи, у яких два числових вирази з однаковими числовими значеннями з'єднані зна­ком рівності. Такі записи вже не є виразами, вони називаються чис­ловими рівностями. Вирази не містять знаку "="!

Числовими рівностями є такі записи: 7 + 2 = 9;8 = 4 + 4;3 = 3; 6 + 8 = 10 + 4.

Учні мають розуміти, що нерозв'язані приклади, які подано в підручнику, - це вирази; розв'язуючи приклади у зошитах, учні записують числові рівності. Числові рівності бувають правильними і неправильними. Записи виду 3 + 2 = 6;7 = 8-це теж рівності, але неправильні, бо в них ліва частина не відповідає правій.

Числові нерівності - це записи виду 7 + 3>5;4 + 2< 10; 6 + 5>6 + 2;1<4 тощо.

Числові нерівності теж бувають правильними або неправиль­ними. Усі наведені числові нерівності є правильними, бо значен­ня лівої і правої частин у них відповідають знаку нерівності, що стоїть між ними. Так, 7 > 2 + 3 - це правильна числова нерів­ність, бо 7 > 5. Неправильними числовими нерівностями є такі: 0>5;6<2 + 2;10 + 2<3 + 2.

Молодші школярі повинні вміти виконувати тотожні перетво­рення над числовими виразами, пояснюючи, на основі яких пра­вил, законів, властивостей виконують ці перетворення. При цьому запис може містити кілька знаків "=" і називатися "ланцюжком". Розглянемо приклад.

73 - 15 - 23 = 73 - (15 + 23) = 73 - (23 + 15) = 73 - 23 - 15 = = 50-15 = 35.

Пояснення учня:

При переході від першого виразу до другого ми використали правило віднімання суми від числа (читаючи його справа налі­во); далі в отриманій сумі ми переставили доданки на основі переставної властивості додавання; після цього знову вико­ристали правило віднімання суми від числа (читаючи його вже зліва направо); наступний крок полягає у заміні виразу 73 - 23 його значенням; так само здійснено і останній крок.

У наведеному прикладі ми докладно описали усі міркування, які дають можливість обчислити вираз зручним способом. Учні, як правило, не задумуються над "правовою стороною" справи, коли ви­конують ті чи інші дії, а це може призвести до хибних міркувань. Так, обчислюючи вираз 36 : (3 • 6), учні, які не пам'ятають правила ділення числа на добуток, можуть виконати такі перетворення:

36: (3-6) = 36 :3 + 36: 6= 12 + 6= 18. Учитель повинен уміти пояснити учневі, чому ці перетворення не є тотожними:

1. якщо обчислити спочатку дію в дужках, то відповідь вийде зовсім іншою: 36 : 18 = 2;

2. правило ділення числа на добуток полягає в послідовному діленні на кожний множник і знаку "+" тут немає місця.