Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на вероятность их появления.

Пусть напряжение U – случайная величина «х» (см. график) и может принимать только значения х₁,х₂..х_n, вероятности появления которых соответственно равны Р₁,Р₂,…,Pn.

Тогда математическое ожидание равно

М(х)= х₁∙Р₁ + х₂∙Р₂+…+ x_n ∙ Рn.

Пример1.

Найти математическое ожидание случайной величины x, зная её закон распределения

x	3	5	2
p	0,1	0,6	0,3

Решение: М(х) = 3 ∙ 0,1+5 ∙ 0,6+2 ∙0,3=3,9.

Пример2.

Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании если вероятность события А=Р.

Решение: случайная величина х- число получения события А в одном испытании может принимать только два значения: появится, при этом х=1 и не появиться, при этом х=0.

Т.о.событие А наступает с вероятностью Р и событие А не наступает с вероятностью q =1- P.

Тогда математическое ожидание

М(х)= 1∙ P +0 ∙ q = P.

Вывод: математическое ожидание числа появления события в одном испытании равно вероятности этого события.

При равных вероятностях наступления событий (P₁= P₂ =P₃= P)

x	X1	X2	X3
P	P1	P2	P3

Р= 1/m = 1/3

М(х)=Р₁(х₁+х₂+х₃); М(х)=∑ x/m

Для равновероятных событий М(х) является средним арифметическим значением данных чисел.

Дисперсия дискретной случайной величины

Случайные величины могут иметь одинаковые математические ожидания, но при различных возможных значениях.

Например, пусть значения х и у заданы следующими законами распределения:

х	-0,01	0,01
р	0,5	0,5

у	-100	100
р	0,5	0,5

М (х)= - 0,01 ∙ 0,5+0,01 ∙ 0,5 = 0

М(y)= -100 ∙ 0,5+100 ∙ 0,5 = 0

Математическое ожидание не полностью характеризует случайную величину, поэтому вводят оценку рассеянности случайных величин вокруг математического ожидания.

Это - дисперсия характеризующая разброс значений случайного процесса относительно среднего значения  .

.

Чем больше  , тем больше вероятность появления очень больших положительных и отрицательных значений процесса.

Более удобная характеристика - среднее квадратичное отклонение (СКО)  ,

с размерностью, что и сам случайный процесс.

Если необходимо оценить «скорость» изменения процесса, то наблюдений в один момент времени недостаточно и для этого используют две случайные величины  , рассматриваемые совместно.

Характеристика связи или зависимости между   и  для двух моментов времени  и    - корреляционная функция: