Оптимальный приемник. Критерий Неймана-Пирсона. Критерии принятия решений о наличии цели и цена ошибочных решений

Оптимальный приемник – обеспечивающий максимум помехоустойчивости при заданных сигналах и заданной помехи.

Для каждого из возможных сообщений находится апостериорное распределение вероятности

а) Для дискретных сигналов определяется распределение вероятностей

б) Для непрерывных сигналов - определяется плотность распределения вероятностей

Взаимное соответствие между переданным и принятым определяется их совместным распределением :

(2.4)

-априорное распределение вероятности сообщения .

- априорное распределение вероятности значения (безусловное).

-условное распределение вероятности значения при известном .

- условное распределение вероятности значения при известном (апостериорного).

Из (2.4)

(2.5)

Поскольку реализация - задана, т.е. в (2.5) является известной величиной, тогда - некоторая постоянная величина, следовательно

(2.6)

где .

Т.о. для определения апостериорного распределения достаточно найти функцию , т.к. априорное распределение предполагается заданным представляет собой распределение вероятностей значений при заданном .

Но в нашем примере задано и необходимо найти как функцию от .

В этом случаи будет не распределением вероятностей, а некоторой функцией величины для заданной реализации , названной функцией правдоподобия.

Функция правдоподобия в математической статистике - это совместное распределение выборки из параметрического распределения, рассматриваемое как функция параметра.

Понятия вероятности и правдоподобия тесно связаны.

Сравним два предложения:

"Сто раз бросают две кости. Какова вероятность выпадения 12 очков в каждом из этих бросков?"

"Насколько правдоподобно, что кости не шулерские, если из ста бросков в каждом выпало 12 очков?"

Если распределение вероятности зависит от параметра, то с одной стороны можно рассматривать вероятность некоторых событий при заданном параметре, а с другой стороны — вероятность заданного события при различных значениях параметра. Т.е. в первом случае имеем функцию, зависящую от события, а во втором — от параметра при фиксированном событии.

Последний вариант является функцией правдоподобия и показывает, насколько правдоподобен выбранный параметр при заданном событии.

Неформально: вероятность позволяет предсказывать неизвестные результаты, основанные на известных параметрах, а правдоподобие позволяет оценивать неизвестные параметры, основанные на известных результатах.

Важно - по абсолютному значению правдоподобия нельзя делать никаких вероятностных суждений.

Правдоподобие позволяет сравнить несколько вероятностных распределений с разными параметрами и оценить какое из них наиболее вероятно привело к наблюдаемым событиям.

Так как шум нормален и стационарен, то с учетом следствий теоремы Котельникова, после ряда преобразований функция правдоподобия будет в виде

- энергия принятого сигнала без связи с принятым U_x

U_x² - нет операции над принятым сигналом

корреляционный интеграл - связь зондирующего и принятого сигнала.

Принимаемые решения:

-сигнал есть; - сигнала нет

апостериорная вероятность наличия сигнала, апостериорная вероятность отсутствия сигнала.

С учетом (2.2) ,

отношение и принимает вид

где - отношение правдоподобия.

- во сколько раз условная вероятность приема реализации при наличии полезного сигнала отличается от условной вероятности приема той же реализации при отсутствии сигнала.

Pешениe сводится к сравнению с установленным порогом .

Принимается правило решения

- сигнал есть

- сигнала нет,

Устройство реализующее (вычисляющее) и вырабатывающее решение при сравнении с порогом называется оптимальным приемником обнаружения.