Способы формализации цели. Критерии

Чтобы сравнивать между собой по эффективности разные решения, нужно иметь какой-то критерий оценки альтернатив.

Будем называть критерием оценки альтернатив показатель их привлекательности (или непривлекательности) для участников процесса выбора решения.

Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность решения. «Лучшим» будет считаться то решение, которое в максимальной степени способствует достижению по­ставленной цели.

Например, доход от операции хотелось бы обратить в максимум; если же показателем эффектив­ности являются затраты, их желательно обратить в минимум.

Рассмотрим теперь основные типы целей и способы их формализации.

Можно выделить следующие типы целей и связанных с ними критериев оценки альтернатив.

1. Качественная цель характеризуется тем, что всякий возмож­ный исход либо полностью удовлетворяет этой цели, либо пол­ностью не удовлетворяет, причем исходы, удовлетворяющие цели, неразличимы между собой по степени выполнения этой цели и точ­но так же неразличимы между собой исходы, не удовлетворяющие цели.

Качественную цель можно формализовать задав:

A – множество всех возможных исходов

В  A – подмножество, где всякий исход удовлетворяет этой цели, а всякий исход не удовлетворяет;

В – называется целевым подмножеством.

2. Целевая функция.

Цель отождествляется с макси­мизацией (или минимизацией) некоторой функции, заданной на множестве всех исходов и принимающей действительные значения.

Эта функция носит название целевой.

Иногда исходы характеризуются не одним числом, а набором n чисел (показателей), образующих векторный критерий оценки альтернатив , причем цель состоит в максимизации (увеличе­нии) всех этих показателей.

Имея цель, заданную с помощью целевой функции f, можно определить связанное с этой целью предпочтение исходов: из двух исходов более предпочтительным будет тот, которому соответст­вует большее значение целевой функции (при равных значениях целевой функции говорят о безразличии исходов между собой).

Назовем такое предпочтение предпочтением, связанным с целевой функцией f.

3. Отношение предпочтения. Однако понятие предпочтения является существенно более широким, чем понятие предпочтения, связанного с целевой функцией.

Например, можно задать предпочтение указывая множест­во всех тех пар исходов, для которых первый исход в паре пред­почтительнее второго, т. е. указывая бинарное отношение предпочтения.

Бинарным отношением R, заданным на множестве X, называется множество упорядоченных пар (x,y) таких, что . Следовательно .

Бинарное отношение может быть наделено следующими важнейшими свойствами:

рефлексивностью, если (x, x) R;

симметричностью, если (x, y) R  (y, x) R;

асимметричностью, если (x, y) R  (y, x) R;

транзитивностью, если (x,y), (y,z) R  (x, z) R.

Если отношение R антирефлексивно, асимметрично и транзитивно, то оно называется строгим упорядочением; если рефлексивно, симметрично и транзитивно – эквивалентностью.

Для описания отношений используются следующие символы:

x  y, где символ  означает «предпочтительнее»;

x  y, где символ  означает «уступает по предпоч­тительности»; x ~ у , где символ ~ означает «эквивалентен по пред­почтительности».

По своему физическому смыслу отношения  и  являют­ся строгим упорядочением, а отношение ~ является эквивалентностью.

Самым распространенным способом формализации цели является описание ее с помощью целевой функции. К такому описанию можно привести и качественный критерий и бинарное отношение предпочтения, если последнее обладает свойством транзитивности.

Всякую качественную цель формально можно свести к максимизации некоторой целевой функ­ции f. Например, можно положить для и для , где В — целевое подмножество.

Иногда можно заменить отношения предпочтения «лучше – хуже» в неко­тором смысле эквивалентными им отношениями «больше-меньше». С этой целью вводится понятие функции, сохраняющей упорядочение.

Определение. Вещественная функция u(x), определен­ная на множестве сравниваемых альтернатив X, сохраняет упорядо­чение, заданное на X отношением , если .

Разумеется, не для всякого отношения предпочтения мо­жет быть построена функция, сохраняющая упорядочение. Например, если (x  y), (y  z) и в то же время x ~ z для некоторых решений x,y,z  P, то необходимо одновременно иметь u(x)>u(y)>u(z) и u(x)=u(z), что противоречит одно другому. Следовательно, при нарушении тран­зитивности отношения функцию, сохраняющую упорядочение, построить нельзя.

Реальные предпочтения людей могут не обладать свойствами транзитивности.