Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Полоцкий государственный университет»
Дифференциальные уравнения.
Ряды
Учебно-методический комплекс
для студентов технических специальностей
Составление и общая редакция
Ф.Ф.Яско
Новополоцк 2008
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
Рекомендован к изданию учебно-методической комиссией
инженерно-строительного факультета
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Дифференциальные уравнения. Ряды: учеб.-метод. комплекс для студ. техн. спец. / сост. и общ. ред. Ф.Ф.Яско. – Новополоцк : ПГУ, 2008. – с.
ISBN 978-985-418 –
Изложены теоретические основы двух разделов курса высшей математики для студентов технических специальностей: «дифференциальные уравнения» и «ряды»; спроектированы основные этапы практических занятий; предложено соответствующее дидактическое обеспечение: графические схемы, информационные таблицы, обучающие задачи, трехуровневые тесты, вопросы к экзамену, глоссарий. Приведены примеры решения прикладных задач.
Предназначен для преподавателей и студентов технических специальностей высших учебных заведений.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 978-985-418 –
Ф.Ф.Яско, составление, 2008
УО «ПГУ», 2008
Содержание
Введение
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ №9. «Дифференциальные уравнения»
Введение
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ
ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА МОДУЛЯ
Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши
9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными
и разделяющимися переменными
9.5. Однородные дифференциальные уравнения
и приводящиеся к ним
9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
9.7. Уравнение Бернулли
9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
9.9. Особые решения дифференциальных уравнений
первого порядка
9.10. Модели прикладных задач с применением
дифференциальных уравнений
9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Задача Коши. Понятие общего и частного решений
9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие
понижение порядка
9.13. Понятие о краевых задачах
для обыкновенных дифференциальных уравнений
9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков
9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения,
свойства их решений. Определитель Вронского. Условия
линейной зависимости и независимости решений
9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных
9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение
систем дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Вопросы к экзамену по модулю №9
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Учебно-информационный блок для проведения практических занятий
Основная и дополнительная литература
I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
II. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
и приводящиеся к ним
III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
и уравнение Бернулли
IY. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Решение задач прикладного содержания
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Дифференциальные уравнения первого порядка»
Y. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
YI. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
YII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами. Метод вариации
произвольных постоянных
YIII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами и со специальной
правой частью
IX. Решение систем дифференциальных уравнений
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Дифференциальные
уравнения высших порядков»
ГЛОССАРИЙ
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ №10 «РЯДЫ»
Введение
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ
ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА МОДУЛЯ
Информационная таблица «Ряды»
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда
10.2. Простейшие свойства числовых рядов
10.3 Необходимое условие сходимости ряда.
Гармонический ряд
10.4. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения
10.5. Признаки Даламбера и Коши
10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
10.7. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно
сходящиеся ряды
10.8. Функциональные ряды. Область сходимости
10.9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус
сходимости степенных рядов
10.10. Интегрирование и дифференцирование
степенных рядов
10.11. Ряды Тейлора и Маклорена.
Условия разложения функции в ряд Тейлора.
10.12. Разложение по
степеням х
функций
,
sin
x,
cos
x,
10.13. Приложение рядов к приближенным вычислениям
10.14. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье
10.15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
10.16. Разложение в
ряд Фурье функций, заданных на
10.17. О разложении в ряд Фурье непериодических функций
Вопросы к экзамену по модулю №10
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Учебно-информационный блок для проведения практических занятий
Основная и дополнительная литература
I. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда
II. Необходимый признак сходимости. Ряды
с положительными членами. Теоремы сравнения
III. Признак Даламбера. Радикальный и интегральный
признаки Коши
IY. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная сходимость
Y. Степенные ряды. Нахождение радиуса и интервала
сходимости
YI. Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения
YII. Контрольная работа по теме «Ряды»
YIII. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на [-p, p]
IX. Разложение функций в ряд Фурье, заданных на
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Ряды»
ГЛОССАРИЙ
Используемая литература
Введение
Данный учебно-методический комплекс (УМК) является частью серии учебно-методических пособий, разрабатываемых кафедрой высшей математики УО «ПГУ» по курсу «Высшая математика» для студентов технических специальностей под руководством кандидата педагогических наук, доцента Вакульчик В.С. Теоретические и дидактические принципы разработки таких пособий изложены в нулевом учебном модуле [5]. Мы надеемся, что наши читатели знакомы, а, точнее, изучили этот УМК. А, ежели нет, то советуем ознакомиться хотя бы с его нулевым модулем.
В предлагаемом УМК, графическая схема которого представлена на рис.1, автором предпринята попытка спроектировать процесс обучения математике как систему целей, содержания, форм, методов и средств обучения, обеспечивающих в своем взаимодействии организацию познавательной деятельности студентов с учетом дифференциации студенческой аудитории. Дидактическую основу УМК составляет дифференцированный и деятельностный подход к обучению математике, а также дидактические принципы научности, системности, доступности. В применении к математике мы руководствуемся сформулированным А.А.Столяром исходным положением теории обучения математике: «Обучение математике есть дидактически целесообразное сочетание обучения математическим знаниям и математической деятельности». Под дифференцированным подходом к обучению математике понимается такая его организация, при которой каждый студент, овладевая некоторым минимумом математических знаний и их практических приложений, получает право и возможность расширять и углублять свои математические знания на более высоких уровнях усвоения. Отдельное внимание необходимо обратить на наличие в УМК таких дидактических средств как графические схемы, информационные таблицы, глоссарий, обобщенные планы, алгоритмические указания, алгоритмическое выделение этапов познавательной деятельности, которые позволяют организовать мыслительную деятельность по переработке математической информации, помогают обучающемуся в логической организации, структурировании, систематизации математических знаний. Поскольку УМК предназначен для студентов нематематических специальностей, то он имеет прикладную направленность, содержит практические задачи, решение которых требует моделирования с помощью изучаемого математического аппарата. УМК содержит в себе возможности самоконтроля, а также уровневого контроля знаний. Студенты, работающие на I уровне сложности, потенциально могут претендовать на получение на экзамене оценки «4-5»; работающие на II уровне – оценки «6-8»; работающие на III уровне – оценки «9-10». Информационное поле УМК позволяет студенту выбирать свою траекторию обучения в каждом модуле. Трехуровневая тестовая среда УМК создает условия для перехода студентов от заданий, требующих воспроизводящей мыслительной деятельности к заданиям, требующим познавательной деятельности преобразующе-воспроизводящего или творческого характера.
Считаем необходимым еще раз привести методические рекомендации работы в информационном поле модуля, изложенные в нулевом учебном модуле [5].
В самом общем виде процесс познания новой информации состоит из следующих этапов: первичное восприятие → изучение основных ее элементов → углубление, обобщение, систематизация полученной информации → включение познанного нового знания в систему имеющихся представлений, знаний, мировоззрения в целом. Исходя из этих психолого-методологических соображений, предлагается следующая последовательность этапов работы в информационном поле модуля.
С помощью методической карты изучить содержание разделов лекционного материала.
Вход в модуль целесообразно осуществить с помощью графической схемы и информационной таблицы. Граф-схема и информационная таблица определенного раздела математики представляют собой максимально сжатый, компактно составленный справочный материал. Справочный материал информационной таблицы раскрывает основные блоки графической схемы рассматриваемого раздела.
Предложенные методические средства помогают при изучении новой информации увязать различные понятия, теоремы, формулы в единое целое; позволяют проследить логику построения теорий; служат эффективному прохождению всех этапов восприятия, усвоения, обобщения, систематизации, и в конечном итоге, логической организации новой информации. Структурированная наглядность содержания представленной информации облегчает ее усвоение за счет целостности представления и восприятия изучаемого объекта, направляет избирательность внимания и памяти. Все это способствует более глубокому уровню усвоения предмета, помогает находить главное и производное в изучаемом материале, анализировать его, учит рационально работать с новой информацией любого содержания.
Изучение теоретической части модуля следует начинать с беглого чтения всей информации. На втором этапе этой познавательной деятельности рекомендуется проработать каждый раздел, отдельные фрагменты при этом разумно параллельно проделать своей рукой. На третьем этапе, просмотрев еще раз графическую схему, отработав основные положения теоретической части модуля с помощью информационной таблицы, целесообразно прочитать еще раз весь теоретический материал с целью его целостного восприятия, большей систематизации, логической организации и обобщения.
Практическая часть модуля представляет собой методически спроектированные практические занятия. Отметим, что они содержат как методические рекомендации преподавателям, так и методические рекомендации студентам. В этой связи, обратим внимание на наличие обучающих задач, решение вариантов аудиторных и внеаудиторных контрольных работ. Все это дополняет задачи и примеры, приведенные в теоретической части модуля, и создает предпосылки для овладения соответствующим математическим аппаратом, по крайней мере, на уровне воспроизводящей познавательной деятельности, позволяет освоить обучающемуся практическую часть информации модуля либо самостоятельно, либо под руководством преподавателя.
На выходе из модуля следует еще раз провести обобщение, систематизацию полученных знаний путем повторного изучения графической схемы, информационной таблицы, глоссария и выводов. Кроме того, практическая часть содержит в себе возможности для проведения контроля и самоконтроля результатов обучения: тесты трех уровней сложности с ответами. Поэтому на выходе из модуля рекомендуется, как минимум, выполнить тест первого уровня сложности. Тесты первого уровня сложности рекомендуется выполнить и непосредственно при подготовке к экзамену, зачету либо коллоквиуму.
Желаем успехов!
