Учебный модуль №10 «ряды» Введение

В данном учебном модуле рассматриваются числовые ряды, функциональные ряды и их частные виды – степенные ряды и ряды Фурье. Исследуется вопрос о сходимости и расходимости числовых рядов, о нахождении области сходимости функциональных рядов. Сходящиеся числовые ряды и степенные ряды широко используются для приближенного вычисления значений функций и «неберущихся» определенных интегралов, а также для нахождения частных решений дифференциальных уравнений в виде степенного ряда. Ряды Фурье имеют большое практическое применение в уравнениях математической физики.

Дидактические цели обучения

Студент должен знать

Студент должен уметь

определение ряда, его сходимости и расходимости, суммы ряда; необходимый признак сходимости и достаточный признак расходимости; признаки сравнения, «эталонные ряды»; достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: Даламбера и Коши; определение абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов; теорему Лейбница для исследования на сходимость знакочередующихся рядов; понятие мажорируемых функциональных рядов; определение интервала сходимости; формулы нахождения радиуса сходимости; теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов; ряды Тейлора и Маклорена, условия разложимости функций в ряд Тейлора; разложения функций , , в ряды Маклорена, биномиальный ряд и его частные случаи; методы оценки погрешности при приближенных вычислениях с помощью рядов; теорему Дирихле о разложении функций в ряды Фурье; формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье и самого ряда Фурье для 2-периодических и -периодических функций; для четных и нечетных функций.

исследовать числовой ряд на сходимость или расходимость по определению, в необходимых случаях находить сумму ряда; применять достаточный признак расходимости; применять признаки сравнения; применять признаки Даламбера и Коши; исследовать знакопеременные ряды на абсолютную и условную сходимость; применять теорему Лейбница для исследования сходимости знакочередующихся рядов; находить область сходимости простейших функциональных рядов; находить интервал сходимости степенных рядов, исследовать сходимость на концах интервала; раскладывать функции в ряды Тейлора и Маклорена; применять теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов для разложения функций в ряды Тейлора и нахождения сумм этих рядов; применять ряды к приближенному вычислению значений функций и определенных интегралов; применять степенные ряды к нахождению частных решений дифференциальных уравнений; вычислять коэффициенты ряда Фурье и записывать сам ряд Фурье; применять разложения функций в ряд Фурье для вычисления сумм некоторых сходящихся числовых рядов.