- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Учебный модуль №9 «Дифференциальные уравнения» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
- •9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.7. Уравнение Бернулли
- •9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений
- •9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений
- •9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
- •9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Вопросы к экзамену по модулю №9
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
9.7. Уравнение Бернулли
Рассмотрим уравнение вида
,
где и - непрерывные функции от х (или постоянные), а n 0 и n 1 (в противном случае получилось бы линейное уравнение). Это уравнение, называемое уравнением Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.
Разделив обе части уравнения на , получим
, или .
Сделаем, далее, замену .
Умножим обе части уравнения на .
,
т.е. получили линейное дифференциальное уравнение относительно z и . Найдя его общий интеграл и подставив , получим общий интеграл уравнения Бернулли.
Пример 9.7.1. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Предполагая х 0, разделим обе части дифференциального уравнения на х, тогда является уравнением Бернулли, где . Умножим обе части уравнения на , в результате имеем .
Сделаем подстановку . Умножая обе части последнего дифференциального уравнения на , получим , , а это уже линейное дифференциальное уравнение относительно z и . Найдем его общее решение по формуле , взяв , f(x) = x.
.
Так как , то – искомое общее решение.
Замечание. Дифференциальное уравнение можно сразу решать методом Бернулли или Лагранжа, не сводя его к линейному.
Пример 9.7.2. Решить уравнение .
Решение. Это уравнение Бернулли. Решение будет искать в виде . Исходное уравнение принимает вид
.
Выберем функцию v(x) таким образом, чтобы . В результате получаем систему:
Решим первое уравнение системы . Тогда второе уравнение системы принимает вид . Итак, , т.е. будет общим решением исходного уравнения.
9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Напомним, что полным дифференциалом функции двух переменных называется выражение
.
Уравнение
называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции , т.е. . В этом случае уравнение можно записать в виде , откуда следует, что соотношение
является его общим интегралом.
Теорема 9.8.1. Пусть и – функции, непрерывные в некоторой односвязной (не имеющей «дырок» внутри себя) области D плоскости XOY и имеющие в ней непрерывные частные производные и . Тогда, для того, чтобы выражение
было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D было выполнено условие:
.
Доказательство.
Необходимость. Пусть выражение является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.
. Отсюда
.
Дифференцируя первое из этих равенств по y, а второе – по x, получим , , откуда по теореме о равенстве смешанных производных получаем .
Достаточность. Покажем, что при выполнении условия выражение есть полный дифференциал некоторой функции .
Из соотношения находим
,
где x0 – абсцисса любой точки из области существования решения.
При интегрировании по x мы считаем y постоянным и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от y. Подберем так, чтобы выполнялось второе из соотношений . Для этого продифференцируем обе части последнего равенства по y и результат приравняем :
.
Но, так как , то , т.е.
, или .
Следовательно, , или .
Таким образом, функция будет иметь вид
,
где точка – точка, в окрестности которой существует решение уравнения .
Если при построении функции брать за исходное второе из равенств , то получим, что
.
В формулах и нижние пределы интегрирования нужно выбирать так, чтобы получающиеся интегралы имели смысл. Удачный выбор и во многих случаях облегчает задачу интегрирования уравнения.
Напомним, что общим интегралом уравнения будет (произвольные постоянные С1 или С2 можно включить в постоянную С).
Пример 9.8.1. Решить уравнение .
Решение. Проверяем, не есть ли это уравнение в полных дифференциалах. Пусть , , тогда ; . Условие при y 0 выполняется. Значит, левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой неизвестной функции . Найдем эту функцию.
Так как , то , где – не определенная пока функция от y.
Дифференцируя это соотношение по y и учитывая, что , получаем . Следовательно .
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения
.
Замечание. Неизвестную функцию можно сразу находить по одной из формул или .
Пример 9.8.2. Дано уравнение .
Решение. Условие выполнено. Применим формулу , положив , . Получим – общий интеграл. Нельзя полагать , так как y = 0 не принадлежит области определения коэффициентов.
Если , то уравнение уже не является уравнением в полных дифференциалах. Его можно превратить в уравнение в полных дифференциалах умножением обеих частей на подходящим образом подобранную функцию , которая называется интегрирующим множителем. В некоторых частных случаях интегрирующий множитель можно найти. Более подробно этот вопрос можно найти в любом учебнике, содержащем дифференциальные уравнения.