- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Учебный модуль №9 «Дифференциальные уравнения» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
- •9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.7. Уравнение Бернулли
- •9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений
- •9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений
- •9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
- •9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Вопросы к экзамену по модулю №9
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
,
где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения надо найти два его линейно независимые частные решения.
Будем искать частные решения в виде
, где ;
тогда , . Подставим , , в .
. Так как , то
.
Если k будет удовлетворять уравнению , то будет решением уравнения . Уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим уравнению .
В зависимости от дискриминанта приведенного квадратного уравнения рассмотрим три случая.
Корни характеристического уравнения действительны и различны : , . В этом случае частными решениями будут функции и , причем они линейно независимы, так как
при .
Следовательно, общее решение
.
Пример 9.16.1. Решить уравнение .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , . Тогда – общее решение.
Корни характеристического уравнения действительны и равны : .
Одно частное решение . Будем искать второе частное решение в виде , где – неизвестная функция, подлежащая определению.
Дифференцируя, находим
,
.
Подставляя , , в , получим
.
Так как k1 – корень , то . Кроме того, = , так как дискриминант . Из .
Таким образом, от уравнения остается . Так как мы ищем частное решение , то можно положить , , т.е. . Итак, . Это решение линейно независимо с первым, так как
.
Поэтому общим решением будет функция
, или .
Пример 9.16.2. Дано уравнение .
Решение. Запишем характеристическое уравнение , , , т.е . (В данном случае в левой части мы имеем полный квадрат , ; , ). Общим решением будет функция .
Корни характеристического уравнения комплексные .
Из известной формулы решения приведенного характеристического уравнения получаем
.
Пусть действительная часть , а мнимая , тогда
,
и частные решения можно записать в виде
, .
Это комплексные функции действительного аргумента и они нас не очень-то устраивают.
Докажем, что если функция удовлетворяет уравнению , то этому уравнению удовлетворяют и функции и .
, или
.
Но комплексная функция равна нулю, если равны нулю действительная и мнимая части, т.е.
,
и являются решениями .
Функции представим по формуле Эйлера
, .
По доказанному частными решениями уравнения будут функции и , которые линейно независимы, так как .
Следовательно, общее решение уравнения
, или
,
где С1 и С2 произвольные постоянные.
Пример 9.16.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
Решение. Характеристическое уравнение , т.е. = 0, = 3. Тогда , т.е. – общее решение данного уравнения.
.
т.е. частное решение имеет вид
Используя формулы , и , можно решать линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков.
Рассмотрим в общем виде уравнение третьего порядка
,
где а1, а2, а3 – постоянные действительные числа. Соответствующее характеристическое уравнение, очевидно, имеет вид
.
Рассмотрим следующие случаи:
– действительные числа. Тогда общее решение
.
– действительные числа. Тогда
.
– действительные числа. Тогда
.
k1 – действительный корень, k2,3 = i – комплексные корни.
(все остальные случаи входят в рассмотренные).
Пример 9.16.4. Найти общее решение уравнения .
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение
;
. Поэтому
– искомое общее решение.