Учебный модуль №9 «Дифференциальные уравнения» Введение

В данном учебном модуле рассматриваются дифференциальные уравнения первого, второго и высшего порядка, методы их решения, а также системы дифференциальных уравнений и методы решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К каждому виду дифференциальных уравнений приводятся прикладные задачи (как правило, одна задача геометрическая, вторая – техническая). Формулируются и решаются задача Коши и краевая задача. Приведены тесты трех уровней сложности с ответами.

Дидактические цели обучения

Студент должен знать

Студент должен уметь

основные правила решения прикладных задач с получением дифференциальных уравнений; основные определения, связанные с понятием дифференциальных уравнений 1-го порядка; формулировку задачи Коши; дифференциальные уравнения 1-го порядка, допускающие интегрирование; основные понятия, связанные с дифференциальными уравнениями высших порядков, задачу Коши; линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков, свойства их решений, определитель Вронского, условия линейной независимости решений, структуру общего решения; структуру общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков, метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения; системы дифференциальных уравнений, формулировку задачи Коши; методы решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

строить модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений; решать дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными и приводящиеся к ним; решать однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка и приводящиеся к ним; решать линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли; решать дифференциальные уравнения в полных дифференциалах; решать дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка; решать линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами; находить частное решение линейного неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных; решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами со специальной правой частью; решать системы дифференциальных уравнений.

Учебно-методическая карта модуля

Название вопросов, которые изучаются на лекции	Номер практического занятия	Наглядные и методические пособия	Формы контроля знаний
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.	I	6, 5, 7, 8	ПЛ, ВДЗ
Дифференциальные уравнения 1-го порядка: однородные и приводящиеся к однородным.	II	3, 8, 9, 6	ПДЗ, ВДЗ
Линейные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений.	III, IY	3, 8, 9, 6,10	ПЛ, ПДЗ, тест
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений. Уравнения, допускающие понижение порядка.	Y	5, 8, 9	ПЛ, ВДЗ
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости системы. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.	YI	5, 6, 8, 9	ПДЗ, ВДЗ
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.	YII, YIII	5, 6, 8, 9	ПЛ, ПДЗ, ВДЗ
Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.	IX	5, 6, 8, 9, 10	тест

Перечень тем практических занятий приведен в практической части модуля.