- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Учебный модуль №9 «Дифференциальные уравнения» Введение
- •Дидактические цели обучения
- •Учебно-методическая карта модуля
- •Графическая схема модуля
- •Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
- •9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.7. Уравнение Бернулли
- •9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка
- •9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений
- •9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений
- •9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений
- •9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
- •9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Вопросы к экзамену по модулю №9
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим сначала линейное неоднородное уравнение второго порядка
,
где а1, а2, f(x) – либо непрерывные функции, либо постоянные числа. Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой.
Теорема 9.17.1. Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму какого-нибудь частного решения этого уравнения уч и общего решения уодн соответствующего однородного уравнения
.
Из теоремы следует, что у=уодн + уч.
Таким образом, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения, то основная задача решения неоднородного уравнения состоит в нахождении какого-либо его частного решения.
Укажем общий метод нахождения частного решения неоднородного уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа)
Предположим известно общее решение однородного уравнения
,
где у1 и у2 – линейно независимые частные решения однородного уравнения.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде
,
рассматривая С1 и С2 как некоторые пока неизвестные функции.
Продифференцируем равенство :
.
Подберем искомые функции и так, чтобы
.
Тогда .
Подставляя , , в , получим
или
.
Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль, так как у1 и у2 – решения однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство имеет вид
.
Объединяя уравнения и , получаем для определения производных от неизвестных функций и систему:
Определитель этой системы , так как у1 и у2 – линейно независимые решения. Поэтому система имеет единственное решение. Решая ее, найдем (так как мы ищем частное решение, то постоянные интегрирования не берем).
Подставляя полученные функции и в , получим частное решение.
Пример 9.17.1. Найти общее решение уравнения .
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения
.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
( , – частные решения однородного уравнения).
Составляем систему
Тогда , а общее решение
.
При отыскании частных решений иногда полезно использовать следующую теорему.
Теорема 9.17.2. Частное решение уравнения
,
где правая часть есть сумма двух функций и , можно представить в виде суммы , где и – частные решения, соответственно, уравнений
,
.
Упражнение. Доказать теорему самостоятельно.
Для уравнения третьего порядка
,
,
а система выглядит следующим образом
Аналогично можно найти частное решение и для уравнений более высокого порядка.
9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
,
где p и q – постоянные действительные числа.
В предыдущем разделе был указан общий метод нахождения частного решения неоднородного уравнения (метод вариации). В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение иногда (для так называемых «специальных» правых частей) бывает возможным найти проще, не прибегая к интегрированию.
Рассмотрим такие случаи для уравнения .
Пусть правая часть этого уравнения представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е.
,
где – известный многочлен n-ой степени. Тогда возможны следующие случаи:
Число не является корнем характеристического уравнения .
В этом случае частное решение нужно искать в виде
,
где – многочлен тоже степени n (как и многочлен ) с неизвестными коэффициентами А0, А1, …, An. Тогда
,
.
Подставляя , и в , получаем
.
Сокращая на и группируя, имеем
,
где – многочлен n-ой степени, – многочлен степени (n1), – многочлен степени (n2). Таким образом, слева и справа от знака равенства в стоят многочлены n-ой степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно n+1), получим систему из (n+1) уравнений. Решив эту систему, найдем неизвестные коэффициенты А0, А1, …, An.
Число есть простой (однократный) корень характеристического уравнения, т.е. .
Если в этом случае частное решение искать в виде , то в равенстве слева получится многочлен (n1) степени, так как и слагаемое с вообще исчезает. Следовательно, ни при каких А0, А1, …, An равенство не будет тождеством. Поэтому частное решение надо искать в виде многочлена (n+1)-й степени, но без свободного члена (который исчез бы при дифференцировании). Степень многочлена увеличим на 1 умножением на х, т.е.
.
Число есть двукратный корень характеристического уравнения . Тогда в равенстве и и оно примет вид
,
т.е. в левой части многочлен (n2) степени, поэтому степень многочлена надо увеличить на 2, это можно сделать умножением на х2 (свободный член и коэффициент при х исчезают при двукратном дифференцировании), т.е.
.
Все три случая можно объединить одной формулой , где е – кратность , как корня характеристического уравнения.
Пример 9.18.1. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . = 0, = 3, и поэтому общее решение
.
Правая часть , где = 3 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
, или
,
.
Подставляя , , в исходное уравнение, получим
.
Сокращая на обе части уравнения и приводя подобные члены, имеем
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа от знака равенства, получим систему для определения неизвестных коэффициентов А, В, С.
Следовательно, частное решение , а общее решение .
Пример 9.18.2. Решить уравнение .
Решение. , и .
, где = 1 является однократным корнем характеристического уравнения , поэтому , т.е ,
,
.
Подставим , и в исходное уравнение
.
Сокращая на обе части и приводя подобные члены, получим
.
Следовательно, , а общее решение
.
Пусть правая часть имеет вид
,
где и – многочлены от х.
Составим комплексно-сопряженные числа , где берется из показателя , а из аргумента cos x и sin x, и рассмотрим два случая:
если числа не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
,
где u(x) и v(x) – многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов и .
если числа являются корнями характеристического уравнения, то
.
При этом указанные формы частных решений и сохраняются в полном виде и в том случае, когда в правой части один из многочленов или отсутствует.
Пример 9.18.3. Решить уравнение .
Решение. . Правая часть , где = 2, = 1, , .
не являются корнями характеристического уравнения, поэтому , т.е.
или
,
.
Подставляем , и в исходное уравнение
.
Сокращая обе части на и приводя подобные члены, получим
, или
.
Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x в левой и правой части равенства, имеем
Следовательно, частное решение , а общее .
Рассмотрим далее важный частный случай. Пусть правая часть имеет вид:
,
где M и N – постоянные числа.
Если ( = 0) не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:
.
Если являются корнями характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:
.
Пример 9.18.4. Найти общее решение .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни .
не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде , где А и В – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
, . Подставляя , и в исходное уравнение получим:
.
Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, получим:
Общее решение , т.е.
.
Пример 9.18.5. Указать вид частного решения уравнения
.
Решение. , . Из cos 2x = 2.
2i совпадают с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение исходного уравнения следует искать в виде
.
В случае неоднородных дифференциальных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью частные решения находятся аналогично.
Пример 9.18.6. Решить уравнение .
Решение. Характеристическое уравнения , ; , .
Из правой части = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому , т.е.
.
Тогда , , , .
, а общее решение
.
Пример 9.18.7. Указать вид частного решения уравнения
.
Решение. , . Из правой части являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде: .