- •2. Точні вибіркові розподіли. Точкові і інтервальні оцінки
- •3.1.2 Нерівність Крамера-Рао*
- •2.1. Розподіл
- •2.2. Розподіл Стьюдента
- •2.3. Розподіл Фішера
- •3.Статистичні оцінки
- •3.1.1. Методи точкового оцінювання
- •3.1.1.1. Метод моментів
- •3.1.1.2. Метод максимальної правдоподібності
- •3.1.2. Нерівність Крамера-Рао* (самостійно)
- •3.2. Оцінки параметрів деяких розподілів
- •3.2.1. Оцінка параметрів нормального розподілу
- •3.2.2. Оцінки параметрів засміченого нормального розподілу [10]
- •3.2.3. Оцінка параметрів рівномірного розподілу
- •3.2.4. Оцінка параметрів логарифмічно нормального розподілу
- •3.2.5. Оцінка параметра експоненціального розподілу
- •3.2.6. Оцінка параметрів розподілу Коші
- •3.2.7. Оцінка параметрів біноміального розподілу
- •3.2.8. Оцінка параметрів пуассонівського розподілу
- •3.2.9. Оцінка параметрів гіпергеометричного розподілу
- •3.3. Інтервальні оцінки
- •3.3.1. Інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу
- •3.3.4 Випадок логарифмічно нормального розподілу [7]
- •3.3.5 Випадок довільного розподілу
- •I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
3.3.4 Випадок логарифмічно нормального розподілу [7]
Логарифмування є одним з тривіальних функціональних перетворень вибіркових значень у випадку, коли має місце порушення передумови щодо їх нормальності. Вимога нормального закону вибіркових значень виникає всяк раз, коли постає мова про коректне застосування параметричних критеріїв згоди при перевірці статистичних гіпотез, зокрема, у дисперсійному, кореляційному та регресійному аналізі (див. нижче). Логарифмування застосовується у тих випадках, коли , . Тобто, випадкова величина має нормальний закон розподілу. Враховуючи, що , а оцінка центру розподілу , отримаємо оцінку середнього значення величини :
; (1)
Інтервальна оцінка для центру розподілу величини має вигляд
. (2)
З (2) з у рахуванням (1) отримаємо інтервальну оцінку для медіани, як центру розподілу:
. (3)
3.3.5 Випадок довільного розподілу
Нехай - довільна вибірка. При великих можна побудувати прості довірчі інтервали за умови припущення щодо нормальності на підставі ЦГТ, згідно з якою розподілення величини:
.
Якщо - обґрунтована оцінка , тоді розподілення величини
і отже ; або , при . (*)
На підставі (*) розглянемо два часткових випадки.
Оцінка параметру розподілення Пуассона
Нехай - незалежні ВВ, що мають розподілення Пуассона з параметром . Тоді , - обґрунтована оцінка параметру , при .
;
.
Оцінка параметру в розподілі Бернуллі
Нехай - число успіхів в іспитах Бернуллі з ймовірністю успіху в кожному іспиті дорівнює . Величина - незсунена і обґрунтована оцінка параметра . Звідси при
;
де .
Тоді ;
.
I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
Згідно з [8]:
- обґрунтована, але зміщена оцінка СКВ при .
Незміщена і обґрунтована оцінка параметра нормального розподілення:
, (**)
де - гамма-функція.
Значення для приведені в таблиці:
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|||||
|
1.085 |
1.064 |
1.051 |
1.042 |
1.036 |
1.032 |
При застосовується права частина формули (**).
II. Побудова довірчого інтервалу до параметру Пуасонівського розподілу[9]
Для точних інтервалів користаються тим фактом, що функція розподілу за законом Пуассона виражається у термінах - розподілу. А саме, наступна формула (стор.160):
; (***)
Довірчий інтервал.
Використовуючи (***) отримуємо довірчі інтервали для :
Для :
; (1*)
Так як ; тоді
де - квантіль рівня , - розподілення з
ступенями свободи.
Аналогічно знаходимо :
;
;
.
Приклад. Якщо на літаку, що залишає складальній цех, не вистачає однієї заклепки і якщо можливо представити, що кількість заклепок, яких не вистачає, на одному літаку розподілена за законом Пуассона, тоді 99%-ий довірчий інтервал для невідомого параметру ( тобто для середнього числа відсутніх заклепок на один літак у всій партії літаків)суть:
;
.
Д/З 1. Для
2. Побудувати довірчий інтервал з [1] для Порівняти результати.
Література
1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей – 2-е издание, переработанное и дополненное - М.: Наука. Главная редакция физико– математической литературы, 1982 г.-256 стр.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. Издание 5-е, переработанное и дополненное М., „Вища школа”,1977г.- 497стр.
3.Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное издательство /С.А.Айвазян, Н.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин, - М.:Финансы та статистика, 1983 г.-471стр.
4. Справочник по теории вероятностей и математической статистике/ В.С. Коронюк, Н.І. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин, -М.: Наука. Главная редакция физико–математической литературы, 1985 г.-640 стр.
5.Турчин В.Н., Дрожжина А.В. Лабораторный практикум для курса “Теория вероятностей и математичская статистика”. Днепропетровск, Ротапринт ДГУ., 1987 г.
6. Чернова Н. І. Краткий конспект лекций по математической статистике. Новосибірськ.,1997 г.
7. Румшиский Л. З. Математическая обработка результатов эксперимента. Главная ред. физико-матем. изд-ва «Наука», 1971.
8. Справочник по вероятностным расчетам. Воениздат, 1970; 536 стр.; Г.Г.Абезгауз, А.П.Тронь, Ю.Н.Копенкин, І.А.Коровина, стр.291-292.
9. К.А.Браунли: Статистическая теория и методы в науке и технике. К.А.Браунли: перевод с английського М.С. Никулина, под редакцией Л.Н.Большик. Главная редакция физико-математической литературы издательства “Наука”,1977 г. стр.160.
10. А. М. Дубров. Обработка статистических данных методом главных компонент. М., «Статистика», 1978.