- •2. Точні вибіркові розподіли. Точкові і інтервальні оцінки
- •3.1.2 Нерівність Крамера-Рао*
- •2.1. Розподіл
- •2.2. Розподіл Стьюдента
- •2.3. Розподіл Фішера
- •3.Статистичні оцінки
- •3.1.1. Методи точкового оцінювання
- •3.1.1.1. Метод моментів
- •3.1.1.2. Метод максимальної правдоподібності
- •3.1.2. Нерівність Крамера-Рао* (самостійно)
- •3.2. Оцінки параметрів деяких розподілів
- •3.2.1. Оцінка параметрів нормального розподілу
- •3.2.2. Оцінки параметрів засміченого нормального розподілу [10]
- •3.2.3. Оцінка параметрів рівномірного розподілу
- •3.2.4. Оцінка параметрів логарифмічно нормального розподілу
- •3.2.5. Оцінка параметра експоненціального розподілу
- •3.2.6. Оцінка параметрів розподілу Коші
- •3.2.7. Оцінка параметрів біноміального розподілу
- •3.2.8. Оцінка параметрів пуассонівського розподілу
- •3.2.9. Оцінка параметрів гіпергеометричного розподілу
- •3.3. Інтервальні оцінки
- •3.3.1. Інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу
- •3.3.4 Випадок логарифмічно нормального розподілу [7]
- •3.3.5 Випадок довільного розподілу
- •I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
3.1.1. Методи точкового оцінювання
3.1.1.1. Метод моментів
Нехай – вибірка з розподілу . Необхідно одержати оцінки для невідомих параметрів . Першим загальним методом оцінки є метод моментів, запропоновані К. Пірсоном.
Суть методу полягає в прирівнюванні певної кількості вибіркових моментів відповідним теоретичним моментам
Розглянемо кількість моментів, що дорівнює кількості невідомих параметрів та одержимо систему рівнянь
3.1.1.2. Метод максимальної правдоподібності
Метод запропонований Фішером:
Дискретні ВВ. Нехай - вибірка з дискретної випадкової величини із заданим законом розподілу . Необхідно оцінити невідомий параметр .
Позначимо через ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина набуде значення .
Визначення 16. Функцією правдоподібності дискретної випадкової величини називається функція аргументу :
, де - фіксовані числа.
Визначення 17. Оцінка знайдену за умови максимуму функції правдоподібності, тобто називається оцінкою максимальної правдоподібності.
Функції і досягають максимуму при одному і тому ж значенні, тому зручніше шукати функції .
Визначення 18. Логарифмічною функцією правдоподібності називається функція
Етапи пошуку :
Знаходимо ;
Знаходимо критичну точку з розв'язку рівняння: ;
Знаходимо . Якщо в точці , то - точка .
3.1.2. Нерівність Крамера-Рао* (самостійно)
3.2. Оцінки параметрів деяких розподілів
Розглянемо точкові оцінки для низки стандартних розподілів, що найбільш часто зустрічаються на практиці.
3.2.1. Оцінка параметрів нормального розподілу
3.2.2. Оцінки параметрів засміченого нормального розподілу [10]
Як показують дослідження останніх років ознаки виробничо-господарчої діяльності підприємств мають витягнуті в той чи інший бік розподіли з «важкими» хвостами. Тьюки показав, що по мірі віддалення істинного розподілу від нормального вибіркове середнє швидко втрачає свої властивості найкращої оцінки центру нормального розподілу.
Будемо вважати, що нормальний розподіл засмічений нормальними викидами з ти м же середнім, але зі значно більшою дисперсією.
Нехай - доля засмічення розподілу розподілом , тоді ця вибірка належить генеральній сукупності з щільністю розподілу
. (*)
Якщо при цьому спостережувана вибірка , то не є найкращою для параметра як центру розподілу.
Таким чином, якщо на основний розподіл типу накласти засмічуючий зі середнім квадратичним відхиленням, що дорівнює трьом, то Тьюкі пропоную наступну оцінку параметра :
,
де - варіаційний ряд вибірки , - усічена оцінка середнього значення, - найбільше ціле число у , . Відмітимо, що при співпадає зі середнім значенням . Відомо, що . Це дає змогу отримати довірчий інтервал для .
3.2.3. Оцінка параметрів рівномірного розподілу
, де
3.2.4. Оцінка параметрів логарифмічно нормального розподілу
Примітка: Параметри реальних ознак, підлеглих цьому закону:
Довговічність виробу, експлуатованого в режимі зносу і старіння.
Розмір і об'єм частинок при дробленні.