Задача 1 . Диференціальні рівняння і передаточні функції елементів сау

Скласти диференціальне рівняння елементу САУ, яке пов’язує вхідну та вихідну величини.

Записати його передаточну функцію за Лапласом. Визначити, якою типовою динамічною ланкою описується даний елемент.

Таблиця 1

№	Елемент САУ	Вхідна величина	Вихідна величина
1	2	3	4
1, 14	Двигун постійного струму з незалежним збудженням ( ДПС НЗ )	Напруга ланки якоря Uд (t)	Кутова швидкість вала двигуна  (t)
2, 15	Двигун постійного струму з незалежним збудженням ( ДПС НЗ )	Напруга ланки якоря Uд (t)	Кут повороту вала двигуна  (t)
3, 16	Електромашинний підсилювач з поперечним полем (ЕМП)	Напруга обмотки управління Uвх (t)	Вихідна напруга Uвих (t)
4, 17	Тиристорний перетворювач ( ТП )	Напруга Uy(t)	Вихідна напруга Uвих (t)
5, 18	Асинхронний трифазний двигун змінного струму (АД)	Напруга живлення статора U (t)	Кутова швидкість вала двигуна  (t)
6, 19	Асинхронний трифазний двигун змінного струму (АД)	Напруга живлення статора U (t)	Кут повороту вала двигуна  (t)
7, 20	Сельсинний вимірювальний пристрій (трансформаторна схема включення )	Угол розбігу  (t)	Напруга U (t)
8, 21	Тахогенератор постійного струму ( ТГ )	Кут повороту вала  (t)	Напруга Uтг (t)
9, 22	Тахогенератор постійного струму ( ТГ )	Кутова швидкість вала  (t)	Напруга Uтг (t)
10, 23	Асинхронний двофазний двигун	Напруга U (t)	Кут повороту вала двигуна  (t)
11, 24	Фазовий детектор ( ФД ) (амплітудний режим)	Напруга Uвх (t)	Напруга Uвих (t)
12,25	Фазовий детектор ( ФД ) (фазовий режим)	Фаза вхідної напруги  (t)	Напруга Uвих (t)
13	Генератор постійного струму	Кут повороту вала приводного двигуна  (t)	Спад напруги Uг (t) на навантаженні

При складанні рівнянь вказати, які прийняті спрощувальні припущення.

Рівняння потрібно записувати в стандартній формі: вихідна величина та її похідні записуються в лівій частині рівняння, вхідна величина та її похідні - в правій. При цьому коефіцієнт при вихідній змінній роблять рівним одиниці.

Література : [ 1, стор. 105-110 ], [ 2, стор. 15-48], [ 3, стор.35-50,72-73,92,138-146,179 ], [6, стор. 40, 164, 191].

Задача 2. Часові й частотні характеристики динамічних ланок САУ

За даним диференціальним рівнянням динамічної ланки (таблиця 2) записати його передаточну функцію за Лапласом W(S) і комплексну передаточну функцію W(j) .

Використовуючи теорему розкладу (за необхідністю), визначити перехідну функцію h(t) і побувати перехідну характеристику ланки.

Розрахувати і побудувати частотні характеристики ланки :

• амплітудно-частотну (АЧХ) ;

• фазову частотну (ФЧХ) ;

• амплітудно- фазову частотну (АФЧХ) ;

• логарифмічну амплітудно-частотну (ЛАЧХ) .

Таблиця 2

№	Рівняння ланки
1	2
1	; k=10c^-1 ; T= 5 c
2	; T=0.1c
3	; k=1c^-1;T= 0.02c ; = 0.15
4	; k=10c^-1 ; T= 0.25 c
5	; k=30c^-1 ; T= 0.05 c ;  = 0.2
6	; k=100c^-1; T=0.4c
7	; k=10c^-1 ; T= 0.2 c
8	; k=6 c^-1 ; = 2 c
9	; k=20c^-1 ; T= 0.03 c ;  = 1,1

Продовження таблиці 2
1	2
10	; k=2c^-1 ;T=0.1c
11	; k=1c^-1 ;T=0.5c
12	; k=50c^-1;T= 0.1 c;  =0 ,25
13	; k=100c^-1 ;T= 0.01 c ;  = 1,2
14	; k=20c^-1 ;T=0.3c
15	; k=10c^-1 ;T=0.15c
16	; k=1c^-1 ; T= 0.01 c ;  = 0,06
17	; k=5c^-1 ; T= 0.025 c ;  = 0,04
18	; k=4c^-1 ; T= 0.2 c
19	; k=50c^-1 ; T= 0.5 c ;  = 1
20	; k=20c^-1 ; T= 0.8 c
21	; T= 2c
22	k=40c^-1
23	; k=100c^-1;T=0.5c
24	; k=50 c^-1 ; = 5 c
25	; k=20c^-1 ; T= 0.8 c ;  = 1,2

Література : [ 1, стор.52-64 ] ; [ 3, стор. 223-242 ].

Приклад 2

Розв’язати задачу 2, якщо рівняння ланки має вигляд:

k=10c^-1 ; T= 0.5 c (2.1)

Записуємо рівняння в операційній формі, застосовуючи перетворення за Лапласом:

(2.2)

(2.3)

Тоді передаточна функція за Лапласом :

(2.4)

Змінюємо змінну S на j і отримуємо комплексну передаточну функцію:

(2.5)

Тобто, дійсна частотна функція

уявна частотна функція .

Амплітудна частотна функція :

(2.6)

Фазова частотна функція

(2.7)

з урахуванням знаку дійсної функції маємо:

Логарифмічна амплітудна частотна функція :

при

при

Це пряма з ухилом – 40 дБ/дек

Частота спряження

Частотні характеристики ланки наведені на мал.2.1.

Мал. 2.1. Частотні характеристики ланки

АЧХ(а), ФЧХ (б), АФЧХ (в), ЛАЧХ (г)

Як відомо, .

Тому запишемо функцію відповідно до (2.4):

; (2.8)

маємо

Знаходимо корені рівняння В(S)=0

S(0.25S² - 1)=0

S₁=0; S₂=-2; S₃=2 - корені прості, тому формула розкладу має вид:

Відповідна перехідна характеристика наведена на малюнку 2.2.

Мал. 2.2. Перехідна характеристика ланки.

Задача 3. Дослідження стійкості лінійних САУ

В таблиці 3.1 задані передаточні функції розімкнутої САУ W(S).

Дослідити стійкість замкнутої системи з одиничним від’ємним зв’язком:

• за критерієм Гурвіца; визначити граничний коефіцієнт підсилення К_гр ;

• за критерієм Найквіста ;

• за логарифмічними частотними характеристиками; в разі стійкої системи визначити запаси стійкості за амплітудою А_зап. та за фазою _зап .

Таблиця3.1

№ варіанта	W (S)
1	2
1
2
3
4
5

Продовження таблиці 3.1

1	2
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

Продовження таблиці 3.1

1	2
24
25

Література : [1,стор.131-137,145-154], [3, стор.264-284] , [4, стор. 114-132]

Приклад 3

Роз’вязати задачу 3, якщо передаточна функція має вид:

Записуємо передаточну функцію замкнутої САУ:

(3.1)

Прирівнюємо знаменник до нуля і отримуємо характеристичне рівняння замкнутої САУ:

(3.2)

Після математичних перетворень записуємо характеристичне рівняння у остаточному вигляді:

де (3.3)

Усі коефіцієнти рівняння позитивні, тобто необхідні умови стійкості САУ виконані. Складаємо визначник Гурвиця:

Значить, система нестійка.

Визначимо граничний коефіцієнт підсилення К_гр , прийнявши його за невідомий параметр. Тоді

a₄=0.01 a₃=0.25 a₂=1 a₁=05Kгр a₀=Kгр

(3.4)

Звідси K_гр=25с^-1

Тобто при К>25 система стає нестійкою.

Розрахуємо АФЧХ розімкнутої системи за ланками:

Тобто, маємо дві інтегруючі ланки, дві аперіодичні та одну форсуючу. Розрахунок АЧХ та ФЧХ кожної ланки виконуємо за відомими формулами. Результати розрахунків зводимо в таблицю 3.2.

Будуємо АФЧХ розімкненої САУ (мал.3.1) та визначаємо за критерієм Найквіста, що замкнена САУ нестійка (АФЧХ охоплює точку (-1; j0)).

Для дослідження стійкості системи за логарифмічними частотними характеристиками будуємо асимптотичну ЛАЧХ та ЛФЧХ розімкненої САУ. Коефіцієнт підсилення:

20lgK=20lg200=46 дБ

Визначаємо частоти спряження:

(Характеристики побудовані на мал.3.2)

Таблиця 3.2. Розрахунок АФЧХ САУ.
		0	1	2	5	10	20	50	100	200
			200	100	40	20	10	4	2	1
		-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0
			1	0.5	0.2	0.2	0.05	0.02	0.01	0.005
		-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0	-90^0
		1	1.12	1.42	2.7	5.1	10.1	25.02	50	100
		0	26^0	45^0	68^0	77^0	84^0	88^0	89^0	89.5^0
		1	0.98	0.93	0.71	0.45	0.24	0.1	0.05	0.025
		0	-11^0	-22^0	-45^0	-63^0	-76^0	-84^0	-87^0	-89^0
		1	1	0.99	0.96	0.9	0.7	0.36	0.2	0.1
		0	-3^0	-6^0	-14^0	-26^0	-45^0	-68^0	-79^0	-84^0
			219.5	65.4	14.7	4.1	0.85	0.07	0.01	0.001
		-180^0	-168^0	-163^0	-171^0	-192^0	-217^0	-244^0	-257^0	-263^0

Мал. 3.1 АФЧХ розімкненої САУ.

Мал. 3.2 Логарифмічні частотні характеристики розімкнутої САУ.

Оскільки на частоті , де ЛФЧХ набуває значення -180⁰, , замкнена САУ нестійка.

Таким чином, стійкість замкненої САУ досліджена за трьома критеріями стійкості. Висновок: система нестійка.

Задача4. Синтез коректуючих пристроїв за логарифмічними частотними характеристиками

В таблиці 4 задана передаточна функція незмінної частини САУ W(S), а також вимоги до системи, що синтезується :

• час регулювання t_р ;

• перерегулювання  ;

• коефіцієнт підсилення (добротності) К ;

• коефіцієнти помилок С_{1 ,}С_{2 ,} С₃ ( С₀=0).

Виконати синтез послідовного коректуючого пристрою методом логарифмічних частотних характеристик :

• побудувати ЛАЧХ незмінної частини системи ;

• розрахувати і побудувати бажану ЛАЧХ ;

• побудувати ЛАЧХ коректуючого пристрою W_кп(S) і вибрати пасивний чотириполюсник.

Таблиця 4

№	W(S)	tр, с	 , %	К , с^-1	С1, с	С2, с^2	С3, с^3
1	2	3	4	5	6	7	8
1		0,1	30	400
2		0,4	20	200
3		0,2	30	100
4					0,02	0,025	-0,01875
5					0,01	0,025	-0,01875
6					0,04	0,025	-0,01875
7					0,04	0,1	-0,15
8		0,1	30	100
9		0,5	30	200

Продовження таблиці 4
1	2	3	4	5	6	7	8
10					0,003	0,1	-0,15
11					0,02	0,066	-0,066
12					0,008	0,066	-0,066
13		0,3	25	300
14					0,01	0,016	-0,008
15					0,008	0,016	-0,008
16					0,04	0,016	-0,008
17					0,04	0,025	-0,0187
18		0,2	20	200
19		0,1	30	100
20		0,5	30	50
21					0,02	0,1	-0,15
22					0,003	0,1	-0,15
23					0,01	0,1	-0,15
24		0,4	20	50
25		0,2	30	50

Література : [1,стор. 268-281] ; [4, стор.228-238] ; [7].

Приклад 4

Вирішити задачу при умові:

(4.1)

C₁=0.01c; C₂=0.025c² ; C₃=-0.01875c³;

Для побудови ЛАЧХ незмінної частини системи визначаємо коефіцієнт підсилення, виражений в дБ, частоти спряження :

40дБ

ЛАЧХ наведена на мал.4.1.

За заданими значеннями коефіцієнтів помилок С₁, С₂, С₃ розрахуємо коефіцієнт підсилення К_ск скоректованої системи, частоти спряження низькочастотної частини бажаної ЛАЧХ (БЛАЧХ) і частоту зрізу, використовуючи відношення:

(4.2) Отримуємо: К_ск=100с^-1; 20lgK_ск=40дБ;

Коефіцієнт підсилення і порядок астатизму системи початкової та тієї що синтезується співпадають, тому в діапазоні низьких частот (ліворуч від ) ЛАЧХ і БЛАЧХ також співпадають.

Середньочастотну і високочастотну асимптоти БЛАЧХ будуємо з урахуванням вимог, поставлених до бажаної ЛАЧХ, таким чином, щоб отримати найбільш простий коректуючий пристрій.

ЛАЧХ коректуючого пристрою (ЛАЧХ_кп) будуємо як різницю між БЛАЧХ і ЛАЧХ незмінної частини системи (мал.4.1).

Мал. 4.1. Логарифмічні амплітудно-частотні характеристики розімкнутої САУ

За видом ЛАЧХ_кп записуємо передаточну функцію послідовного коректуючого пристрою:

де

Вибираємо пасивний чотириполюсник постійного струму (інтегро-диференціюючий контур), для якого Т₂=R₂ C₂ Т₃=R₁ C₁ (мал. 4.2)

мал. 4.2. Інтегро-диференцюючий контур.

Задача 5. Розрахунок та побудова перехідних характеристик замкнутих САУ