- •Кафедра высшей и прикладной математики
- •1.1. Предел последовательности
- •1.2. Предел функции
- •Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства пределов
- •1.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.4. Первый замечательный предел
- •1.5. Второй замечательный предел
- •2.1. Понятие производной функции
- •Формулы дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •Пример. Найти производную функции .
- •2.3. Дифференцирование неявной функции
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •3.1. Экстремум функции
- •3.2. Точки перегиба График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).
- •На интервале кривая выпукла , а на интервале – вогнута . Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты .
- •3.3. Асимптоты
- •3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Непосредственное интегрирование
- •4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Интегрирование по частям
- •4.5. Интегрирование рациональных дробей
- •4.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •5.1. Понятие определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •5.2. Формула Ньютона-Лейбница
- •5.3. Методы интегрирования
- •7.1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Линейные дифференциальные уравнения
- •7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •8.3. Знакочередующиеся ряды
- •Обобщенный признак Даламбера сходимости степенного ряда Для степенного ряда , где , составим предел модуля отношения последующего члена ряда к предыдущему
- •ЛиТература
4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
Сущность интегрирования методом замены переменной заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко берется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла заменяем переменную новой переменной подстановкой . Продифференцировав это равенство, получим: . Подставляя в подынтегральное выражение вместо и их значения, выраженные через и , имеем:
.
После того как интеграл с новой переменной будет найден, посредством подстановки он приводится к переменной .
Часто также применяют замену .
Пример. Найти интеграл .
Решение.
.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
Пример 3. Найти интеграл .
Решение.
4.4. Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
,
где , – непрерывно дифференцируемые функции от .
С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом через обозначают такую функцию, которая при дифференцировании упрощается, а через – ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Так, например, для интегралов , , , где – многочлен, за следует принять , а за – соответственно выражения , , .
Для интегралов вида , , , , за принимают соответственно функции , , , , а за – выражение .
Пример. Найти интеграл .
Решение.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
.
Мы добились понижения степени на единицу. Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям:
.
Окончательно имеем:
.
4.5. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя ниже степени знаменателя ; в противном случае дробь называется неправильной.
Элементарными рациональными дробями называются правильные дроби вида:
;
, где – целое число, большее единицы;
, где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;
.
Во всех четырех случаях предполагается, что – действительные числа.
Рассмотрим интегралы от элементарных рациональных дробей первых двух типов. Имеем:
;
.
Например, .
Для интегрирования дробей третьего типа выделяют полный квадрат в знаменателе, а далее используют табличные интегралы
; .
Пример. Найти интеграл .
Решение. Выделим полный квадрат
.
Тогда
Для интегрирования элементарных дробей четвертого типа в числителе выделяют производную знаменателя и сводят интеграл к сумме двух интегралов третьего типа и .
Пример. Найти интеграл .
Решение. Преобразуем дробь: выделим в числителе из производную знаменателя, равную , но чтобы величина числителя не изменялась:
.
Поэтому
.
Выделим полный квадрат:
.
Далее имеем:
Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на элементарные дроби. Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующие алгебраические преобразования:
если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде:
,
где – многочлен, а – правильная рациональная дробь;
разложить знаменатель дроби на линейные и квадратные множители:
,
где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;
правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:
вычислить неопределенные коэффициенты для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной конкретные значения (корни знаменателя).
В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена к интегралам от элементарных рациональных дробей.
Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т.е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.
Пример. Найти интеграл .
Решение. Так как каждый из двучленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы элементарных дробей первого типа:
.
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим
.
Положим
Итак, разложение рациональной дроби на элементарные имеет вид:
.
Таким образом,
Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, т.е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.
Пример. Найти интеграл .
Решение. Множителю соответствует сумма трех элементарных дробей , а множителю – элементарная дробь . Итак,
.
Тогда
.
Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и – 3. Полагая , получаем . При имеем .
Положим , получаем . При имеем . Тогда
, , , .
Разложение данной дроби имеет вид:
.
Таким образом, получим
Случай 3. Среди корней знаменателя имеется квадратный трехчлен, не разложимый на линейные множители.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
;
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной .
;
.
.