- •Кафедра высшей и прикладной математики
- •1.1. Предел последовательности
- •1.2. Предел функции
- •Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства пределов
- •1.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.4. Первый замечательный предел
- •1.5. Второй замечательный предел
- •2.1. Понятие производной функции
- •Формулы дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •Пример. Найти производную функции .
- •2.3. Дифференцирование неявной функции
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •3.1. Экстремум функции
- •3.2. Точки перегиба График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).
- •На интервале кривая выпукла , а на интервале – вогнута . Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты .
- •3.3. Асимптоты
- •3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Непосредственное интегрирование
- •4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Интегрирование по частям
- •4.5. Интегрирование рациональных дробей
- •4.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •5.1. Понятие определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •5.2. Формула Ньютона-Лейбница
- •5.3. Методы интегрирования
- •7.1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Линейные дифференциальные уравнения
- •7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •8.3. Знакочередующиеся ряды
- •Обобщенный признак Даламбера сходимости степенного ряда Для степенного ряда , где , составим предел модуля отношения последующего члена ряда к предыдущему
- •ЛиТература
3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
В различных учебниках рекомендуются общие схемы исследования функции, отличающиеся лишь в деталях. Можно предложить следующий план исследования.
Найти область определения функции.
Найти точки разрыва (если они есть) и определить их род.
Определить четность, нечетность, периодичность функции.
Найти точки экстремума и интервалы монотонности (эти два элемента поведения функции определяются, как правило, одновременно).
Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
Найти асимптоты графика функции.
Для получения графика функции в некоторых случаях полезно найти несколько точек (например, точки пересечения с осями координат), определить поведение функции при .
На основании исследования функции нетрудно построить ее график. При его построении рекомендуется сначала нанести на координатную плоскость найденные точки графика и изобразить график в окрестности точек экстремума.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
Функция определена во всех точках, кроме , т.е. область определения составляет множество .
В точке функция разрывна. В остальных точках функция непрерывна.
Условия четности и нечетности не выполняются
,
.
Функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида. Следовательно, график функции не симметричен ни относительно оси , ни относительно начала координат. Функция непериодическая (что очевидно).
Найдем экстремум функции и интервалы монотонности:
.
: ; .
Отсюда , .
Производная не существует в точке , но в этой точке не существует и сама функция.
Исследуем критические точки:
-
+
нет
экстр
min
Из таблицы находим интервалы монотонности функции: если функция убывает, если – функция возрастает. При .
Находим вторую производную
: ; , при любых значениях . Тогда решением является
-
1
+
перегиб
не
существует
+
0
График функции является вогнутым на интервалах и , выпуклым на интервале .
В точке функция имеет перегиб; .
Найдем асимптоты:
а) вертикальная ;
б) проверим наличие наклонных асимптот :
.
Отсюда следует, что наклонных асимптот нет.
7. График пересекает оси координат в точке . При .
Построим график (рис. 9).
О 1 3/2
Рис. 9
4. Неопределенный интеграл |