- •Кафедра высшей и прикладной математики
- •1.1. Предел последовательности
- •1.2. Предел функции
- •Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства пределов
- •1.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.4. Первый замечательный предел
- •1.5. Второй замечательный предел
- •2.1. Понятие производной функции
- •Формулы дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •Пример. Найти производную функции .
- •2.3. Дифференцирование неявной функции
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •3.1. Экстремум функции
- •3.2. Точки перегиба График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).
- •На интервале кривая выпукла , а на интервале – вогнута . Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты .
- •3.3. Асимптоты
- •3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Непосредственное интегрирование
- •4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Интегрирование по частям
- •4.5. Интегрирование рациональных дробей
- •4.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •5.1. Понятие определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •5.2. Формула Ньютона-Лейбница
- •5.3. Методы интегрирования
- •7.1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Линейные дифференциальные уравнения
- •7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •8.3. Знакочередующиеся ряды
- •Обобщенный признак Даламбера сходимости степенного ряда Для степенного ряда , где , составим предел модуля отношения последующего члена ряда к предыдущему
- •ЛиТература
Формулы дифференцирования
Если функции и дифференцируемы в точке , то в точке дифференцируемы функции , , , , и справедливы формулы:
;
;
;
.
2.2. Производная сложной функции
Если , а является функцией независимой переменной : , то называется сложной функцией переменной . Переменная при этом называется промежуточной. Производная по функции имеет вид . Аналогичное правило имеет место и в случае, когда сложная функция задается цепочкой, содержащей три и более звена. Например, если , то . Практическую реализацию этого правила покажем на примерах.
Пример. Найти производную функции .
Решение. Дифференцируем сначала тангенс, учитывая, что роль промежуточного аргумента выполняет . Получим . Теперь мысленно зачеркнем значок “ ” и видим перед собой выражение . Дифференцируем корень: и мысленно закрываем значок корня. Остается . Дифференцируем логарифм (промежуточным аргументом является ): . После вычеркивания значка “ ” появляется , что при дифференцировании даст . Теперь запишется в виде произведения всех промежуточных результатов дифференцирования:
.
Пример. Найти производную функции .
Решение.
=
.
Пример. Найти производную функции .
Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции и суммы, получим
2.3. Дифференцирование неявной функции
Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то называется неявной функцией . Нахождение производной функции, заданной неявно, заключается в том, что обе части уравнения дифференцируются по . С учетом того, что есть функция , и из полученного уравнения определяется .
Пример. Найти производную от функции, заданной неявно .
Решение. Так как является функцией от , то будем рассматривать как сложную функцию от . Следовательно . Продифференцировав по обе части данного уравнения, получим:
, .
Пример. Найти , если .
Решение. При дифференцировании последнего слагаемого надо применить формулу для дифференцирования произведения и тогда
.
Поэтому получаем
.
Сокращаем на 3, раскрываем скобки, переносим члены, не содержащие , в правую часть равенства и получаем
,
отсюда
.
3. Применение производной к исследованию функции |
Понятие производной удобно применять для аналитического исследования свойств функции и построения ее графика.
Областью определения функции называют множество значений аргумента , при которых функция определена.
Функция называется четной, если выполняется условие . При этом график функции симметричен относительно оси . Функция называется нечетной, если выполняется условие . При этом график функции симметричен относительно начала координат точки . Если функция не является ни четной, ни нечетной, то эта функция общего вида. Функция называется периодической с периодом , если выполняется условие .
Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух чисел и из этого интервала из неравенства следует неравенство .
Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух чисел и из этого интервала из неравенства следует неравенство .
Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.