- •Кафедра высшей и прикладной математики
- •1.1. Предел последовательности
- •1.2. Предел функции
- •Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства пределов
- •1.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.4. Первый замечательный предел
- •1.5. Второй замечательный предел
- •2.1. Понятие производной функции
- •Формулы дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •Пример. Найти производную функции .
- •2.3. Дифференцирование неявной функции
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •3.1. Экстремум функции
- •3.2. Точки перегиба График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).
- •На интервале кривая выпукла , а на интервале – вогнута . Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты .
- •3.3. Асимптоты
- •3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Непосредственное интегрирование
- •4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Интегрирование по частям
- •4.5. Интегрирование рациональных дробей
- •4.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •5.1. Понятие определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •5.2. Формула Ньютона-Лейбница
- •5.3. Методы интегрирования
- •7.1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Линейные дифференциальные уравнения
- •7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •8.3. Знакочередующиеся ряды
- •Обобщенный признак Даламбера сходимости степенного ряда Для степенного ряда , где , составим предел модуля отношения последующего члена ряда к предыдущему
- •ЛиТература
Признаки возрастания и убывания функции
Следующая теорема выражает важный для практических целей признак строгого возрастания и строгого убывания функции и указывает правило для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает (интервалов монотонности функции).
Теорема. |
(достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале) Если во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция на этом интервале возрастает. Если же во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция на этом интервале убывает. |
Правило. Для определения интервалов строгого возрастания и строгого убывания функции следует решить неравенства:
и .
Пример. Найти интервалы монотонности функции
.
Решение. Областью определения данной функции является вся ось . Находим производную . Чтобы найти интервалы возрастания функции, решим неравенство или ; чтобы найти интервалы убывания функции, решим неравенство . Корни квадратного трёхчлена равны 1 и 3, поэтому распределение знаков квадратного трехчлена имеет вид
+ – +
1 3
Следовательно, на интервалах и функция возрастает, а на интервале функция убывает.
3.1. Экстремум функции
Если для всех значений из некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то называют точкой локального максимума функции , а – локальным максимумом функции. Если для всех значений из некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то называют точкой локального минимума функции , а – локальным минимумом функции. Минимумы и максимумы функции называют ее экстремумами.
Необходимый и достаточный признаки экстремума функции дают следующие две теоремы
ТЕОРЕМА 1 |
(необходимый признак экстремума) Если точка является точкой экстремума, то в этой точке производная равна нулю или не существует. |
Эта теорема имеет простую геометрическую интерпретацию.
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
На рис. 4 касательная к графику функции в точке – точка экстремума – параллельна оси , т.е. угловой коэффициент (а это и есть производная) равен нулю.
На рис. 5 касательная в точке экстремума перпендикулярна оси , на рис. 6 касательная в точке с абсциссой не существует. В обоих случаях производная в точке не существует.
Точки, в которых первая производная равна нулю, а также, в которых она не существует, но функция сохраняет непрерывность, называются критическими.
Следует уяснить, что указанный признак экстремума является только необходимым, но отнюдь не достаточным: производная функции может быть равна нулю или не существовать не только в тех точках, в которых функция достигает экстремума. Например, производная функции равна нулю в любой точке, но экстремума у этой функции нет (рис. 7). Поэтому, определив критические точки, в которых функция может достигать экстремума, надо каждую из точек в отдельности исследовать на основании достаточных условий существования экстремума.
0
Рис. 7
ТЕОРЕМА 2 |
(достаточный признак экстремума) Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то критическая точка является точкой экстремума. Это точка максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если производная меняет знак с минуса на плюс. |
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
Решение.
Область определения .
Находим критические точки, для чего найдем производную и приравняем ее к нулю . Отсюда , , . Точек, где не существует, нет.
Исследуем критические точки по достаточному признаку экстремума. Это удобно делать в таблице, куда заносятся критические точки и точки разрыва функции (в данном примере точек разрыва нет).
-
0
0
0
0
нет экстремума
нет экстремума
Для нахождения знака производной достаточно подставить в нее любое значение из рассматриваемого интервала. Так, исследуя интервал , можно взять, например, точку и подставить это значение в производную: . Исследовав, указанным образом знаки производной в интервалах , замечаем, что производная меняет знак при переходе через точку 0 (с “+” на “”). Значит, – точка максимума. Значение функции в этой точке .
Заметим, что, исследуя функцию на экстремум, мы одновременно находим и интервалы монотонности функции.