- •Кафедра высшей и прикладной математики
- •1.1. Предел последовательности
- •1.2. Предел функции
- •Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства пределов
- •1.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.4. Первый замечательный предел
- •1.5. Второй замечательный предел
- •2.1. Понятие производной функции
- •Формулы дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •Пример. Найти производную функции .
- •2.3. Дифференцирование неявной функции
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •3.1. Экстремум функции
- •3.2. Точки перегиба График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).
- •На интервале кривая выпукла , а на интервале – вогнута . Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты .
- •3.3. Асимптоты
- •3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Непосредственное интегрирование
- •4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Интегрирование по частям
- •4.5. Интегрирование рациональных дробей
- •4.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •5.1. Понятие определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •5.2. Формула Ньютона-Лейбница
- •5.3. Методы интегрирования
- •7.1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Линейные дифференциальные уравнения
- •7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •8.3. Знакочередующиеся ряды
- •Обобщенный признак Даламбера сходимости степенного ряда Для степенного ряда , где , составим предел модуля отношения последующего члена ряда к предыдущему
- •ЛиТература
1.1. Предел последовательности
Определение. |
Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента. |
Член называется общим членом последовательности. Последовательность с общим членом содержит бесконечное множество чисел и обозначается . Последовательность считается заданной, если дан способ вычисления любого ее члена по его известному номеру.
Пример. Написать первые 10 членов последовательности, если ее общий член .
Решение. Вычисляя значение дроби при значениях , равных 1, 2, 3,…, 10, получим: , , , , , , , , , .
В общем виде:
Определение. |
Число называется пределом последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого, положительного числа найдется такое натуральное число , |
что все значения переменной , начиная с , отличаются от по абсолютной величине меньше чем на :
при всех , или
.
Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
Если последовательность имеет предел, равный , то говорят, что эта последовательность сходится к . Например, поскольку , то говорят, что последовательность сходится к 1.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Например, последовательность ,… не имеет предела, значит она расходится.
Геометрическая интерпретация предела. Постоянное число называется пределом переменной , если для любой окрестности с центром в точке , даже сколь угодно малого радиуса , найдется такое значение , что точки, изображающие это значение и все последующие значения переменной , попадут в эту окрестность (рис.1). Обратим внимание на то, что вне любой окрестности точки лежит лишь конечное число значений переменной .
0
Рис. 1 Геометрическая интерпретация предела последовательности
1.2. Предел функции
Определение. |
Число является пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого, положительного числа существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . |
Тот факт, что функция при имеет предел, равный , символически обозначают в виде
.
Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).
Для каждого наперед заданного значения , найдется окрестность точки радиуса , такая, что часть графика данной функции, соответствующая окрестности , содержится внутри полосы, ограниченной прямыми , .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 Геометрическая интерпретация предела функции