- •Кафедра высшей и прикладной математики
- •1.1. Предел последовательности
- •1.2. Предел функции
- •Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства пределов
- •1.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.4. Первый замечательный предел
- •1.5. Второй замечательный предел
- •2.1. Понятие производной функции
- •Формулы дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •Пример. Найти производную функции .
- •2.3. Дифференцирование неявной функции
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •3.1. Экстремум функции
- •3.2. Точки перегиба График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).
- •На интервале кривая выпукла , а на интервале – вогнута . Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты .
- •3.3. Асимптоты
- •3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Непосредственное интегрирование
- •4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Интегрирование по частям
- •4.5. Интегрирование рациональных дробей
- •4.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •5.1. Понятие определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •5.2. Формула Ньютона-Лейбница
- •5.3. Методы интегрирования
- •7.1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Линейные дифференциальные уравнения
- •7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •8.3. Знакочередующиеся ряды
- •Обобщенный признак Даламбера сходимости степенного ряда Для степенного ряда , где , составим предел модуля отношения последующего члена ряда к предыдущему
- •ЛиТература
4.6. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида , где - рациональная функция.
Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: . В результате этой подстановки имеем:
.
Пример. Найти интеграл .
Решение. Подынтегральная функция рационально зависит от и : применяем подстановку , тогда , , .
.
Возвращаясь к старой переменной, получаем:
.
Интегралы вида .
Выделим два случая, имеющие особенно важное значение.
Случай 1. |
По крайней мере один из показателей или – положительное нечетное число. |
если – нечетное положительное число, то применяется подстановка ;
если – нечетное положительное число, то применяется подстановка .
если и оба нечетные и , то применяется подстановка ;
если и оба нечетные и , то применяется подстановка ;
если и оба нечетные и , то применяют любую из подстановок или ;
Пример. Найти интеграл .
Решение. Здесь , , значит применяем подстановку , откуда . Далее имеем:
.
Случай 2. |
Оба показателя степени и – четные положительные числа. |
Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:
Пример. Найти интеграл .
Решение. Применяем последовательно первую и вторую из этих формул:
.
Итак,
.
Интегралы вида ; ; .
Тригонометрические формулы:
дают возможность произведение тригонометрических функций предоставить в виде суммы.
Пример. Найти интеграл .
Решение. Используя первую формулу, получим
.
5. Определенный интеграл |
5.1. Понятие определенного интеграла
Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Разделим отрезок на произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: .
Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида
.
Для каждой непрерывной на функции можно построить бесконечное число интегральных сумм, каждая из которых зависит от разбиения отрезка на части и выбора точек на каждом элементарном отрезке.
Определение. |
Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю; если этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка на части и выбора точек на каждом из элементарных отрезков: |
.
Числа и называют пределами интегрирования; – отрезком интегрирования; – подынтегральной функцией; – подынтегральным выражением; – переменной интегрирования.
Теорема |
существования определенного интеграла. Если функция непрерывна на , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные и от способа выбора точек . |
Если на , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями (рис. 10).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10 |