- •Кафедра высшей и прикладной математики
- •1.1. Предел последовательности
- •1.2. Предел функции
- •Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции , имеющей предел при , равный (рис.2).
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства пределов
- •1.3. Раскрытие неопределенностей
- •1.4. Первый замечательный предел
- •1.5. Второй замечательный предел
- •2.1. Понятие производной функции
- •Формулы дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •Пример. Найти производную функции .
- •2.3. Дифференцирование неявной функции
- •Признаки возрастания и убывания функции
- •3.1. Экстремум функции
- •3.2. Точки перегиба График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке этого интервала (рис. 8 а).
- •На интервале кривая выпукла , а на интервале – вогнута . Таким образом, при переходе через точку вторая производная меняет знак. Эта точка является точкой перегиба. Ее координаты .
- •3.3. Асимптоты
- •3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Непосредственное интегрирование
- •4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Интегрирование по частям
- •4.5. Интегрирование рациональных дробей
- •4.6. Интегрирование тригонометрических функций
- •5.1. Понятие определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •5.2. Формула Ньютона-Лейбница
- •5.3. Методы интегрирования
- •7.1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Линейные дифференциальные уравнения
- •7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •8.3. Знакочередующиеся ряды
- •Обобщенный признак Даламбера сходимости степенного ряда Для степенного ряда , где , составим предел модуля отношения последующего члена ряда к предыдущему
- •ЛиТература
Основные свойства определенного интеграла
1о |
Значение определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования . |
2о |
Если пределы интегрирования поменять местами, то интеграл изменит знак на противоположный . |
3о |
Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю . |
4о |
Если отрезок интегрирования разбить точкой , то интеграл по всему отрезку будет равен сумме интегралов по его частям . Формула оказывается верной для любого расположения точек при условии существования всех входящих в нее интегралов. |
5о |
Интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций . |
6о |
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
|
7о |
Определенный интеграл в симметричных относительно нуля пределах от четной функции равен удвоенному интегралу на половине интервала интегрирования:
|
8о |
Определенный интеграл в симметричных относительно нуля пределах от нечетной функции равен нулю
|
5.2. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема |
Если функция на отрезке является первообразной для непрерывной функции , то равен приращению первообразной на этом отрезке: |
.
Это формула Ньютона-Лейбница. Ее можно представить в виде
.
Из данного соотношения вытекает связь между определенным и неопределенным интегралами. Определенный интеграл равен функции, найденной по неопределенному интегралу и вычисленной в заданных пределах. Неопределенный интеграл – это функция, определенный интеграл – это число (значение функции).
5.3. Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование основано на свойствах интеграла, формуле Ньютона-Лейбница и таблице интегралов.
Замена переменной:
,
где – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , , , – функция, непрерывная на . После вычисления последнего интеграла нет необходимости возвращаться к прежней переменной .
Интегрирование по частям:
,
где – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке . Все рекомендации относительно обозначений и сохраняются.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Вводим новую переменную интегрирования, полагая . Отсюда находим и новые пределы интеграла: при , при .
Подставляя, получим
.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. По формуле интегрирования по частям находим
6. Несобственный интеграл |
Несобственными интегралами называются:
интегралы с бесконечными пределами от ограниченных функций;
интегралы с конечными пределами от неограниченных функций.
Несобственный интеграл от функции в переделах от до определяется равенством
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся.
Аналогично
,
,
где – произвольная точка.
Если функция не ограничена в окрестности точки , и непрерывна при и , то, по определению, полагают
|
|
|
|
|
|
Несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела конечны в правой части равенства, и расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них.
Пример. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Имеем
,
предел не существует, следовательно, интеграл расходится.
Пример. Вычислить .
Решение. Найдем
,
несобственный интеграл сходится.
Пример. Найти .
Решение. Подынтегральная функция в точке неограниченна, поэтому
,
т.е. несобственный интеграл расходится.
7. Дифференциальные уравнения |
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные (или ее дифференциалы).
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала), входящий в уравнение.
Дифференциальное уравнение порядка в общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы до порядка включительно и имеет вид
.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
.
Задача состоит в определении из дифференциального уравнения неизвестной функции, а процесс определения функции называется интегрированием дифференциального уравнения.
Решением уравнения первого порядка называется всякая дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение оно обращается в тождество
.
Кривая , определяемая решением уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется соотношение вида
,
содержащее произвольную постоянную и являющееся решением дифференциального уравнения при любом действительном значении постоянной .
Иногда вместо общего решения получают общий интеграл
,
где – функция переменной .
Уравнения определяют семейство интегральных кривых уравнения первого порядка.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение, которое получается из общего решения при некотором частном значении произвольной постоянной.