Контрольная работа № 2
Контрольная работа № 2 состоит из пяти задач. Ниже подробно рассмотрены варианты решения заданий.
Образец выполнения задания № 6
Найти пределы функций.
.
Решение: Так как заданная функция непрерывная (при всех значениях , в том числе и при ), то предел функции в равен значению функции в этой точке, т.е.
.
Итак, .
2) .
Решение: Функция в предельной точке не определена. Она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при (неопределенность вида ); преобразуем ее, чтобы сократить на множитель, стремящийся к нулю. Разлагаем знаменатель на множители и сокращаем дробь на . Получаем
.
3) .
Решение: Функция в предельной точке не определена. Она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при (неопределенность вида ). Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители, затем, сокращая дробь на , получаем
.
4) .
Решение: Функция при представляет собой неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель дроби на - наивысшую степень , находим
,
так как при величины и являются бесконечно малыми.
5) .
Решение: Функция при представляет собой неопределенность вида . Рассматривая данную функцию как дробную, со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби на . Получаем
.
6) .
Решение: Функция в предельной точке не определена, она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при (неопределенность вида ).
Применяя тригонометрическую формулу и используя первый замечательный предел, находим
.
7) .
Решение: Функция в предельной точке не определена, она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при (неопределенность вида ). Преобразуя функцию и используя первый замечательный предел, находим
.
8) .
Решение: Функция в предельной точке не определена, она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при (неопределенность ). Чтобы использовать первый замечательный предел, сделаем замену переменной, положив . Тогда при будет и
.
9) .
Решение: Функция в предельной точке не определена, она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при (неопределенность ). Преобразуя функцию и используя первый замечательный предел, находим
.
10) .
Решение: Функция в предельной точке не определена, она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при (неопределенность ). Чтобы использовать первый замечательный предел, сделаем замену переменной . Находим
.
11) .
Решение: Функция в предельной точке не определена, она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при (неопределенность ). Чтобы использовать первый замечательный предел, сделаем замену переменной . Находим
.
12) .
Решение: Функция представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при (неопределенность ). Преобразуем ее и воспользуемся вторым замечательным пределом
.
Число - иррациональное, Получаем
.
Таким образом, .
13) .
Решение: Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть .
Таким образом,
;
так как
при ,
то
Приняв во внимание, что получаем, что .
Образец выполнения задания № 7
а) Дана функция и значения аргумента , . 1) Определить пределы функции при приближении к , слева и справа. 2) Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной. 3) Сделать схематический чертеж.
Решение: 1) Исследуем на непрерывность в точке . По определению: функция непрерывна в точке , если .
Определим предел слева: .
Определим предел справа: .
функция терпит разрыв в точке второго рода.
Исследуем на непрерывность в точке .
;
.
, в точке непрерывна.
Рис. 5
Образец выполнения задания № 8
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций.
Решение: Перепишем заданную функцию в виде
2)
Решение:
3)
Решение: Обозначим ; тогда . По правилу дифференцирования сложной функции имеем
.
4) .
Решение: .
5) .
Решение: .
6) .
Решение:
.
7) .
Решение: Здесь основание и показатель степени зависят от . Логарифмируя, получим
.
Дифференцируем обе части последнего равенства по . Так как является функцией , то есть сложная функция и .
Следовательно, , ,
.
Образец выполнения заданий № 10
На какой высоте надо повесить фонарь над центром круговой площади радиуса , чтобы площадка была максимально освещена у ее границы?
Из курса физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения (угла, образованного нормально к поверхности с направлением светового потока), т.е.
, где k зависит от силы источника света, помещенного в точке А (рис. 6). Из треугольника ОАВ имеем и . Приняв h за независимую переменную, получим
.
Исследуем функцию на экстремум с помощью первой производной:
; при .
Т ак как в промежутке и в промежутке , то при функция имеет максимум, т.е. при значении освещенность в точке В является наибольшей.
Рис. 6