Контрольная работа № 1
Контрольная работа № 1 состоит из пяти заданий. Ниже подробно рассмотрены варианты решения заданий.
Образец выполнения задания 1
Дано: , , , .
Найти: а) длину ребра ;
б) угол между векторами и ;
в) площадь грани ;
г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины на грань ;
е) длину медианы k к грани .
Решение:
Д ля наглядности построим пирамиду (необязательно соблюдая масштаб) и отметим на ней используемые векторы (рис. 1).
а) Для вычисления
длины ребра
найдем координаты вектора
.
Для этого из координат конца
вектора
вычтем соответствующие координаты
начала
:
.
Вычислим длину
вектора:
.
Ответ:
.
k
б) Для вычисления угла между векторами и найдем эти векторы: и .
Воспользуемся формулой .
Скалярное произведение получим как сумму произведений соответствующих координат: .
Вычислим длины векторов и : ; . , .
Ответ: .
в) Площадь грани будем вычислять исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника равна .
Вычислим векторное произведение разложением определителя по первой строке:
Найдем длину вектора :
Тогда площадь грани равна .
Ответ:
г) Объем пирамиды численно равен модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, например векторов , , .
, .
Ответ:
д) Для вычисления высоты, опущенной из вершины на грань , воспользуемся формулой , где - длина высоты пирамиды. Объем пирамиды равен , площадь основания . Тогда , отсюда .
Ответ:
е) Вектор соединяет с серединой стороны . Найдем . Для этого вычислим полусуммы соответствующих координат векторов , , значит, Тогда длина медианы
Ответ:
Образец выполнения задания 2
Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки втрое дальше, чем от прямой . Сделать чертеж.
Дано: точка ; прямая на плоскости .
Решение: Пусть точка лежит на искомой линии. Из проведем две прямые: прямую и прямую , перпендикулярную к прямой . По условию задачи .
Так как , , то
Т ак как (рис. 2), то Подставим эти значения в (1). Это и есть уравнение линии. Но его можно упростить.
Рис. 2
С делаем замену , . Уравнение примет вид . В системе координат это уравнение изображается параболой (рис. 3). Относительно этой системы координат точка О (начало старой системы координат) имеет координаты . Эти числа взяты из .
Рис. 3
Образец выполнения задания 3
Дано уравнение линии в полярной системе координат. Надо: 1) определить точки, лежащие на линии, давая значения через промежуток, равный , начиная от в промежутке ; 2) построить линию, соединив полученные точки с помощью лекала или от руки; 3) найти уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс берется совпадающей с полярной осью, полюс – с началом прямоугольной декартовой системы координат; обе системы координат берутся правыми); 4) определить вид кривой.
Для построения кривой, заданной уравнением , придаем значения от до через промежуток (с шагом) и заносим полученные значения в таблицу:
2) В полярной системе координат соединяем последовательно точки с координатами , получаем кривую (рис. 4)
3 ) Для получения уравнения линии в прямоугольной системе координат подставим значения полярного радиуса и угла , связывающие полярную и прямоугольную системы координат.
Рис. 4
, , .
Тогда .
- уравнение параболы со смещенным центром .
Напомним, что полярный радиус точки может принимать только неотрицательные значения.
Образец выполнения задания № 4
Дано уравнение прямой и точки . Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку А и содержащей прямую .
.
Решение:
Прямая проходит через точку направляющий вектор . Искомая плоскость проходит через прямую и точку .
Для написания уравнения плоскости рассмотрим текущую точку . Векторы , , компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.
,
,
,
- уравнение плоскости.
Ответ:
Образец выполнения задания № 5
Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.
а) Дана система линейных уравнений
Решить систему двумя способами: 1) Методом Гаусса, 2) по формулам Крамера.
Решение:
а) У данной неоднородной системы число уравнений равно числу неизвестных. Вычислим определитель этой системы:
Определитель системы не равен нулю, так что можно применить правило Крамера. Составим вспомогательный определитель , заменив столбец коэффициентов при столбцом свободных членов:
Вычислим определитель , полученный из основного заменой столбца коэффициентов при переменной столбцом свободных членов:
Аналогично вычислим :
По правилу Крамера: Таким образом,
Ответ: